Упр.91 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из промежутка $$[0;+\infty)$$, причём $$x_2>x_1$$.

Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^4+3x_2)-(x_1^4+3x_1)=$$
$$=(x_2^4-x_1^4)+3(x_2-x_1)=$$
$$=(x_2-x_1)(x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3(x_2-x_1)=$$
$$=(x_2-x_1)\bigl[(x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3\bigr]>0.$$

Так как $$x_2-x_1>0$$, а второй множитель тоже положителен, то $$f(x_2)>f(x_1)$$. Значит, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.

б) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые числа из $$\mathbb{R}$$, причём $$x_2>x_1$$.

Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(-x_2^3-2x_2)-(-x_1^3-2x_1)=$$
$$=(x_1^3-x_2^3)+2(x_1-x_2)=$$
$$=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+2(x_1-x_2)=$$
$$=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2)<0.$$

Поскольку $$x_1-x_2<0$$, а $$x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2>0$$, получаем $$f(x_2)<f(x_1)$$. Следовательно, функция убывает на $$\mathbb{R}$$.

в) Рассмотрим точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из промежутка $$(-\infty;0]$$, где $$x_2>x_1$$.

Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^6-0{,}5)-(x_1^6-0{,}5)=x_2^6-x_1^6=$$
$$=(x_2^3-x_1^3)(x_2^3+x_1^3)=$$
$$=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)(x_2+x_1)(x_2^2-x_1x_2+x_1^2).$$

Так как $$x_2>x_1$$ и оба числа неположительны, то $$x_2-x_1>0$$, а $$x_2+x_1<0$$. Остальные множители неотрицательны, поэтому

$$f(x_2)-f(x_1)<0.$$

Значит, $$f(x_2)<f(x_1)$$, то есть функция убывает на $$(-\infty;0]$$.

г) Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — любые числа из $$\mathbb{R}$$, причём $$x_2>x_1$$.

Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^5+1{,}5x_2)-(x_1^5+1{,}5x_1)=$$
$$=(x_2^5-x_1^5)+1{,}5(x_2-x_1)=$$
$$=(x_2-x_1)(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4)+1{,}5(x_2-x_1)=$$
$$=(x_2-x_1)\bigl(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4+1{,}5\bigr)>0.$$

Следовательно, $$f(x_2)>f(x_1)$$, значит, функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.