Упр.90 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Приведём все выражения к углам из промежутка $$\left(0;\pi\right)$$:

$$\cos\frac{25\pi}{9}=\cos\left(2\pi+\frac{7\pi}{9}\right)=\cos\frac{7\pi}{9},$$

$$\sin\frac{4\pi}{5}=\cos\frac{3\pi}{10},$$

$$\cos\frac{4\pi}{9}=\cos\frac{4\pi}{9}, \qquad \cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right)=\cos\frac{5\pi}{9}.$$

Так как $$0<\frac{3\pi}{10}<\frac{4\pi}{9}<\frac{5\pi}{9}<\frac{7\pi}{9}<\pi,$$ а функция $$\cos x$$ на промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ убывает, то

$$\cos\frac{7\pi}{9}<\cos\frac{5\pi}{9}<\cos\frac{4\pi}{9}<\cos\frac{3\pi}{10}.$$

Следовательно, в порядке возрастания:

$$\cos\frac{25\pi}{9},\ \cos\left(-\frac{5\pi}{9}\right),\ \cos\frac{4\pi}{9},\ \sin\frac{4\pi}{5}.$$

б) Преобразуем выражения:

$$\tg\left(-\frac{5\pi}{7}\right)=\tg\frac{2\pi}{7},$$

$$\ctg\frac{15\pi}{8}=\ctg\left(\pi+\frac{7\pi}{8}\right)=\ctg\frac{7\pi}{8}=-\tg\frac{\pi}{8}=\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right),$$

$$\tg\left(-\frac{7\pi}{16}\right)=\tg\left(-\frac{7\pi}{16}\right), \qquad \tg\frac{3\pi}{8}=\tg\frac{3\pi}{8}.$$

Сравним углы:

$$-\frac{7\pi}{16}<-\frac{\pi}{8}<\frac{2\pi}{7}<\frac{3\pi}{8}.$$

Функция $$\tg x$$ возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$, значит

$$\tg\left(-\frac{7\pi}{16}\right)<\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right)<\tg\frac{2\pi}{7}<\tg\frac{3\pi}{8}.$$

Следовательно, в порядке возрастания:

$$\tg\left(-\frac{7\pi}{16}\right),\ \ctg\frac{15\pi}{8},\ \tg\left(-\frac{5\pi}{7}\right),\ \tg\frac{3\pi}{8}.$$

в) Преобразуем:

$$\ctg\frac{9\pi}{10}=\ctg\frac{9\pi}{10}, \qquad \ctg\frac{12\pi}{5}=\ctg\frac{2\pi}{5},$$

$$\tg\frac{6\pi}{5}=\tg\left(\pi+\frac{\pi}{5}\right)=\tg\frac{\pi}{5}=\ctg\frac{3\pi}{10},$$

$$\ctg\frac{7\pi}{15}=\ctg\frac{7\pi}{15}.$$

Так как

$$0<\frac{3\pi}{10}<\frac{2\pi}{5}<\frac{7\pi}{15}<\frac{9\pi}{10}<\pi,$$

а функция $$\ctg x$$ на $$\left(0;\pi\right)$$ убывает, то

$$\ctg\frac{9\pi}{10}<\ctg\frac{7\pi}{15}<\ctg\frac{2\pi}{5}<\ctg\frac{3\pi}{10}.$$

Значит, в порядке возрастания:

$$\ctg\frac{9\pi}{10},\ \ctg\frac{7\pi}{15},\ \ctg\frac{12\pi}{5},\ \tg\frac{6\pi}{5}.$$

г) Преобразуем:

$$\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right), \qquad \cos\frac{13\pi}{24}=\sin\frac{\pi}{24},$$

$$\sin\frac{5\pi}{24}=\sin\frac{5\pi}{24}, \qquad \sin\frac{17\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Сравним углы:

$$-\frac{5\pi}{12}<\frac{\pi}{24}<\frac{5\pi}{24}<\frac{5\pi}{6}.$$

Функция $$\sin x$$ возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$, поэтому

$$\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right)<\sin\frac{\pi}{24}<\sin\frac{5\pi}{24}<\sin\frac{5\pi}{6}.$$

Следовательно, в порядке возрастания:

$$\sin\left(-\frac{5\pi}{12}\right),\ \cos\frac{13\pi}{24},\ \sin\frac{5\pi}{24},\ \sin\frac{17\pi}{6}.$$