Упр.9 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) Укажите все корни уравнения $$\log_a x=b$$ ($$a>0$$, $$a\ne1$$).
б) Решите неравенство $$\log_a x>\log_a c$$ (рассмотрите два случая: $$0
Решите уравнение:
а) $$\log_2(x-15)=4$$;
б) $$\lg^2(x)+2\lg(x)=8$$;
в) $$\ln^2(x-2)=4$$;
г) $$\lg(x^2-2x-4)=\lg(11)$$.
Решите неравенство:
а) $$\log_{0,6}x>2$$;
б) $$\lg(x)\ ?\ -2$$;
в) $$\ln(x)\ ?\ -3$$;
г) $$\log_7x<1$$.
1) а) Из уравнения $$\log_a x=b$$ при $$a>0,\ a\ne 1$$ получаем
$$x=a^b.$$
б) Для неравенства $$\log_a x>\log_a c$$ нужно учитывать основание логарифма:
- если $$a>1,$$ то знак неравенства сохраняется и $$x>c,$$
- если $$0<a<1,$$ то знак неравенства меняется и $$x<c.$$
Ход решения
а) $$\log_2(x-15)=4$$
$$x-15=2^4=16,$$
$$x=31.$$
б) $$\lg^2 x+2\lg x=8$$
Обозначим $$t=\lg x.$$ Тогда
$$t^2+2t-8=0,$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-4,\quad t_2=2.$$
Тогда
$$x_1=10^{-4}=0{,}0001,\quad x_2=10^2=100.$$
в) $$\ln^2(x-2)=4$$
$$\ln(x-2)=\pm 2,$$
$$x-2=e^{\pm 2},$$
$$x=2+e^{-2}\quad \text{или}\quad x=2+e^2.$$
г) $$\lg(x^2-2x-4)=\lg 11$$
Тогда
$$x^2-2x-4=11,$$
$$x^2-2x-15=0.$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}.$$
Следовательно,
$$x_1=-3,\quad x_2=5.$$
а) $$\log_{0{,}6}x>2$$
Так как $$0<0{,}6<1,$$ знак неравенства меняется:
$$x<0{,}6^2=0{,}36.$$
С учётом области определения $$x>0$$ получаем
$$x\in(0;\,0{,}36).$$
б) $$\lg x\le -2$$
При $$x>0$$ имеем
$$x\le 10^{-2}=0{,}01.$$
Значит,
$$x\in(0;\,0{,}01].$$
в) $$\ln x\ge -3$$
При $$x>0$$ получаем
$$x\ge e^{-3}=\frac{1}{e^3}.$$
Следовательно,
$$x\in\left[\frac{1}{e^3};\,+\infty\right).$$
г) $$\log_7 x<1$$
Так как $$7>1,$$ знак неравенства сохраняется:
$$x<7^1=7.$$
С учётом $$x>0$$ получаем
$$x\in(0;\,7).$$
Ответ
1) а) $$x=a^b$$; б) при $$a>1$$ — $$x>c$$, при $$0<a<1$$ — $$x<c$$.
2) а) $$31$$; б) $$0{,}0001$$, $$100$$; в) $$2+e^{-2}$$, $$2+e^2$$; г) $$-3$$, $$5$$.
3) а) $$\left(0;\,0{,}36\right)$$; б) $$\left(0;\,0{,}01\right]$$; в) $$\left[\frac{1}{e^3};\,+\infty\right)$$; г) $$\left(0;\,7\right).$$
