Упр.9 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Какую точку называют критической точкой функции?
2. Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
3. Исследуйте на максимум и минимум функцию:
   а) $$y=\frac{x}{2}-x^4$$;
   б) $$y=2\sin(x)+\cos(2x)$$;
   в) $$y=x^3-3x$$;
   г) $$y=x-\mathrm{tg}(x)$$.

1) Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна нулю или не существует.

2) Если в точке $$x_0$$ производная меняет знак с плюса на минус, то $$x_0$$ — точка максимума функции. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то $$x_0$$ — точка минимума функции.

3) Исследуем функции на максимум и минимум.

1. $$y=\frac{x}{2}-x^4,\quad x\in \mathbb{R}.$$

   $$y'(x)=\frac12-4x^3.$$

   Найдём критическую точку:

   $$\frac12-4x^3=0 \;\Rightarrow\; 8x^3=1 \;\Rightarrow\; x=\frac12.$$

   При $$x<\frac12$$ имеем $$y'(x)>0$$, а при $$x>\frac12$$ — $$y'(x)<0$$. Значит, в точке $$x=\frac12$$ функция имеет максимум.

   Ответ: $$x_{\max}=\frac12.$$

2. $$y=2\sin x+\cos 2x.$$

   $$y'(x)=2\cos x-2\sin 2x=2\cos x-4\sin x\cos x=2\cos x\,(1-2\sin x).$$

   Критические точки:

   $$2\cos x\,(1-2\sin x)=0,$$

   откуда

   $$\cos x=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   или

   $$1-2\sin x=0 \;\Rightarrow\; \sin x=\frac12 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   По знаку производной получаем:

   $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x_{\min}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x_{\max}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$y=x^3-3x,\quad x\in \mathbb{R}.$$

   $$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1).$$

   Найдём критические точки:

   $$3(x^2-1)=0 \;\Rightarrow\; x^2=1 \;\Rightarrow\; x=-1,\ 1.$$

   При $$x<-1$$ и $$x>1$$ производная положительна, а при $$-1<x<1$$ — отрицательна. Значит, в точке $$x=-1$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

   Ответ: $$x_{\max}=-1,\quad x_{\min}=1.$$

4. $$y=x-\tg x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   $$y'(x)=1-\frac{1}{\cos^2 x}.$$

   Так как $$\cos^2 x\le 1$$, то

   $$\frac{1}{\cos^2 x}\ge 1,$$

   следовательно,

   $$y'(x)\le 0.$$

   Производная нигде не меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс, поэтому точек максимума и минимума нет.

   Ответ: нет таких точек.