Упр.9 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов).
- Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) $$\cos 117^\circ+\cos 63^\circ$$;
б) $$\frac{\sin 70^\circ-\sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}$$;
в) $$\cos\frac{19?}{12}-\cos\frac{?}{12}$$;
г) $$\sin 112^\circ+\sin 248^\circ$$. - Докажите тождество:
а) $$\frac{\sin(?) + \sin(3?)}{\cos(?) + \cos(3?)}=\tg(2?)$$;
б) $$\bigl(\sin(2?)+\sin(4?)\bigr)^2+\bigl(\cos(2?)+\cos(4?)\bigr)^2=4\cos^2(?)$$;
в) $$\frac{\sin(2?)+\sin(2?)}{\cos(2?)+\cos(2?)}=\tg(?+?)$$;
г) $$\sin(2?)+\sin(4?)+\sin(6?)=4\sin(3?)\cos(2?)\cos(?)$$.
Формулы суммы и разности синусов и косинусов:
$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$$
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cdot \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Ход решения
$$\cos 117^\circ+\cos 63^\circ=2\cos 90^\circ\cdot \cos 27^\circ=0.$$
$$\frac{\sin 70^\circ-\sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}=\frac{2\sin 30^\circ\cdot \cos 40^\circ}{\cos 40^\circ}=2\cdot \frac12=1.$$
$$\cos \frac{19\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}=-2\sin \frac{5\pi}{6}\cdot \sin \frac{3\pi}{4}=-2\cdot \frac12 \cdot \frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$\sin 112^\circ+\sin 248^\circ=2\sin 180^\circ\cdot \cos 68^\circ=0.$$
Ход решения
$$\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha}=\frac{2\sin 2\alpha \cos \alpha}{2\cos 2\alpha \cos \alpha}=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\tg 2\alpha.$$
$$(\sin 2\alpha+\sin 4\alpha)^2+(\cos 2\alpha+\cos 4\alpha)^2$$
$$=(2\sin 3\alpha \cos \alpha)^2+(2\cos 3\alpha \cos \alpha)^2$$
$$=4\cos^2 \alpha(\sin^2 3\alpha+\cos^2 3\alpha)=4\cos^2 \alpha.$$
$$\frac{\sin 2\alpha+\sin 2\beta}{\cos 2\alpha+\cos 2\beta}=\frac{2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}{2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\tg(\alpha+\beta).$$
$$\sin 2\alpha+\sin 4\alpha+\sin 6\alpha =2\sin 3\alpha \cos \alpha+2\sin 3\alpha \cos 3\alpha$$
$$=2\sin 3\alpha(\cos \alpha+\cos 3\alpha) =2\sin 3\alpha\cdot 2\cos 2\alpha \cos \alpha$$
$$=4\sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha.$$
Ответ
1) $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2},$$
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
2) а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$0$$.
3) Все тождества верны.
