Упр.9 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите в целых числах уравнения:

а) $$13x-7y=6$$;

б) $$x!+y!=(x+y)!$$;

в) $$27x-9y=15$$;

г) $$1!+2!+\dots+x!=y^2$$.

а) Из уравнения

$$13x-7y=6$$

получаем

$$7y=13x-6.$$

Чтобы правая часть делилась на $$7$$, рассмотрим остатки по модулю $$7$$:

$$13x-6 \equiv 6x-6 \equiv 0 \pmod 7,$$

значит,

$$6x \equiv 6 \pmod 7,$$

откуда

$$x \equiv 1 \pmod 7.$$

Пусть $$x=7k+1$$, тогда

$$7y=13(7k+1)-6=91k+7,$$

$$y=13k+1.$$

Ответ: $$(7k+1;\,13k+1),\ k\in \mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$x!+y!=(x+y)!.$$

Если $$x\neq y$$, то без ограничения общности пусть $$x<y$$. Тогда

$$x!+y! < y!+y! = 2y!,$$

а при $$x,y\ge 1$$ имеем $$x+y\ge y+1$$, значит

$$(x+y)! \ge (y+1)! = (y+1)y! > 2y!$$

для $$y\ge 2$$, что невозможно. Поэтому должно быть $$x=y$$.

Тогда

$$x!+x!=(2x)!,$$

то есть

$$2x!=(2x)!.$$

Проверяем натуральные значения:

$$x=1:\quad 1!+1!=2=(2)!,$$

при $$x\ge 2$$ равенство уже не выполняется.

Ответ: $$(1;\,1).$$

в) Имеем

$$27x-9y=15.$$

Делим на $$3$$:

$$9x-3y=5.$$

Левая часть делится на $$3$$, а правая нет. Следовательно, целых решений нет.

Ответ: решений нет.

г) Рассмотрим уравнение

$$1!+2!+\dots+x!=y^2.$$

Проверим первые значения:

$$x=1:\quad 1!=1,\quad y=\pm 1.$$

$$x=2:\quad 1!+2!=1+2=3,$$

$$x=3:\quad 1!+2!+3!=1+2+6=9,\quad y=\pm 3.$$

При $$x\ge 4$$ сумма оканчивается на $$3$$, так как

$$1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33,$$

а все следующие слагаемые кратны $$10$$, значит последняя цифра суммы не меняется. Тогда $$y^2$$ тоже должно оканчиваться на $$3$$, что невозможно для квадрата целого числа.

Следовательно, остаются только найденные случаи.

Ответ: $$(1;\,1),\ (1;\,-1),\ (3;\,3),\ (3;\,-3).$$