Упр.89 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите графически уравнения (неравенства): а) $$4-3x?x+2$$; б) $$x^2-2x=-x$$; в) $$\frac{1}{x}=4x$$; г) $$x^2+2x+2?x+1$$.

а) Рассмотрим пересечение графиков функций $$y=4-3x$$ и $$y=x+2.$$

Точка пересечения находится из уравнения

$$4-3x=x+2$$

$$-4x=-2$$

$$x=0{,}5.$$

Так как требуется решить неравенство $$4-3x\le x+2,$$ то берём значения $$x$$, при которых график первой функции не выше графика второй. Получаем

$$x\in[0{,}5;+\infty).$$

б) Решим уравнение графически, сравнив графики функций $$y=x^2-2x$$ и $$y=-x.$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$x^2-2x=-x$$

$$x^2-x=0$$

$$x(x-1)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\quad x_2=1.$$

в) Рассмотрим графики функций $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=4x.$$

Точки пересечения найдём из уравнения

$$\frac{1}{x}=4x,$$

где $$x\ne 0.$$ Тогда

$$1=4x^2$$

$$x^2=\frac14$$

$$x=\pm\frac12.$$

Следовательно,

$$x_1=-0{,}5,\quad x_2=0{,}5.$$

г) Сравним графики функций $$y=x^2+2x+2$$ и $$y=x+1.$$

Решим неравенство

$$x^2+2x+2\ge x+1$$

$$x^2+x+1\ge 0.$$

Преобразуем:

$$x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34.$$

Так как $$\left(x+\frac12\right)^2\ge 0,$$ то

$$\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$$

при любом $$x.$$ Значит, неравенство верно для всех действительных чисел.

$$x\in(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in[0{,}5;+\infty);$$ б) $$x_1=0,\ x_2=1;$$ в) $$x_1=-0{,}5,\ x_2=0{,}5;$$ г) $$x\in(-\infty;+\infty).$$