Упр.89 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=\sin(\arcsin(x))$$; б) $$y=\arcsin(\sin(x))$$; в) $$y=\cos(2\arccos(x))$$; г) $$y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(x))$$.

а) $$y=\sin(\arcsin x)=x,$$ где $$-1\le x\le 1.$$

Это отрезок прямой $$y=x$$ на промежутке $$[-1;1].$$

б) $$y=\arcsin(\sin x).$$

Так как функция $$\arcsin$$ принимает значения только из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],$$ график получается кусочно-линейным и повторяется с периодом $$2\pi.$$ На каждом промежутке длины $$\pi$$ имеем:

$$y= \begin{cases} x-2\pi k, & x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{\pi}{2}+2\pi k\right],\\[4pt] \pi- x+2\pi k, & x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi k;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right], \end{cases} \quad k\in\mathbb Z.$$

в) $$y=\cos(2\arccos x).$$

Используем формулу $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.$$ Тогда

$$y=2\cos^2(\arccos x)-1=2x^2-1,\qquad -1\le x\le 1.$$

Это часть параболы $$y=2x^2-1$$ на отрезке $$[-1;1].$$

г) $$y=\operatorname{arctg}(\tg x).$$

Функция $$\operatorname{arctg}$$ принимает значения из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right),$$ поэтому

$$y=x,\qquad -\frac{\pi}{2}+ \pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

График — участки прямой $$y=x$$ на каждом таком промежутке, с разрывами в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Ответ

а) $$y=x,\ -1\le x\le 1.$$
б) $$y=\arcsin(\sin x)$$ — кусочно-линейная периодическая функция с периодом $$2\pi.$$
в) $$y=2x^2-1,\ -1\le x\le 1.$$
г) $$y=\operatorname{arctg}(\tg x)=x,\ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$