Упр.88 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение имеет корень, принадлежащий заданному промежутку I:
   а) $$x^3-6x+2=0,\quad I=[0;1];$$
   б) $$x^4-3x^2+\frac{2}{9}=0,\quad I=[1;2];$$
   в) $$x^5+3x=5,\quad I=[1;2];$$
   г) $$4+2x^3-x^5=0,\quad I=[-1;2].$$

Рассмотрим функцию, соответствующую левой части уравнения. Она непрерывна на любом отрезке, так как является многочленом. Если на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, то по теореме Больцано–Коши на этом отрезке есть корень.

1. $$f(x)=x^3-6x+2,\quad I=[0;1].$$

   $$f(0)=0-0+2=2>0,$$

   $$f(1)=1-6+2=-3<0.$$

   Значит, на отрезке $$[0;1]$$ есть корень.

2. $$f(x)=x^4-3x^2+\frac{2}{9},\quad I=[1;2].$$

   $$f(1)=1-3+\frac{2}{9}=-\frac{16}{9}<0,$$

   $$f(2)=16-12+\frac{2}{9}=\frac{38}{9}>0.$$

   Значит, на отрезке $$[1;2]$$ есть корень.

3. $$f(x)=x^5+3x-5,\quad I=[1;2].$$

   $$f(1)=1+3-5=-1<0,$$

   $$f(2)=32+6-5=33>0.$$

   Значит, на отрезке $$[1;2]$$ есть корень.

4. $$f(x)=4+2x^3-x^5,\quad I=[-1;2].$$

   $$f(-1)=4+2(-1)^3-(-1)^5=4-2+1=3>0,$$

   $$f(2)=4+2\cdot 8-32=4+16-32=-12<0.$$

   Значит, на отрезке $$[-1;2]$$ есть корень.

Ответ: во всех четырёх случаях уравнение имеет корень на указанном промежутке.