Упр.88 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$$; б) $$y=\sqrt{\log_{2000}\left(\cos^{2000}(x)\right)}$$; в) $$y=\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)\sin(x)$$; г) $$y=\{\cos(x)\}$$.

а) $$y=\sqrt{x}+\sqrt{-x}.$$

Область определения задаётся условиями $$x\ge 0$$ и $$x\le 0,$$ значит, $$x=0.$$

Тогда

$$y(0)=\sqrt{0}+\sqrt{-0}=0.$$

Следовательно, график функции состоит из одной точки $$\left(0,0\right).$$

б) $$y=\sqrt{\log_{2000}\left(\cos^{2000}x\right)}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\log_{2000}\left(\cos^{2000}x\right)\ge 0.$$

Так как основание логарифма $$2000>1,$$ то

$$\cos^{2000}x\ge 1.$$

Но $$\cos^{2000}x\le 1,$$ поэтому возможно только

$$\cos^{2000}x=1,$$

то есть

$$\cos x=\pm 1,\qquad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях $$y=0.$$ Значит, график — множество точек

$$\left(\pi n,0\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$y=\ctg\frac{x}{2}\sin x.$$

Преобразуем:

$$y=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\cdot 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} =2\cos^2\frac{x}{2}.$$

Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x,$$ тогда

$$y=1+\cos x.$$

Это график косинуса, сдвинутый вверх на 1.

г) $$y=\{\cos x\}.$$

Здесь $$\{\cos x\}$$ — дробная часть числа $$\cos x.$$ Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то:

• если $$0\le \cos x<1,$$ то $$\{\cos x\}=\cos x;$$
• если $$-1\le \cos x<0,$$ то $$\{\cos x\}=\cos x+1;$$
• если $$\cos x=1,$$ то $$\{\cos x\}=0.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} \cos x, & \cos x\ge 0,\\ \cos x+1, & \cos x<0. \end{cases}$$

График получается из графика $$y=\cos x$$ заменой отрицательных значений на значения, сдвинутые вверх на 1.

Ответ

а) $$\left(0,0\right).$$

б) $$\left(\pi n,0\right),\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$y=1+\cos x.$$

г) $$y=\{\cos x\}.$$