Упр.88 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{(x-2)^2}+1.$$

Это график функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, сдвинутый на $$2$$ единицы вправо и на $$1$$ единицу вверх. Поэтому функция возрастает на промежутке $$(-\infty;2)$$ и убывает на промежутке $$(2;+\infty).$$

Экстремумов функция не имеет.

б) Рассмотрим функцию $$y=4|x|-x^2.$$

Функция чётная, поэтому достаточно исследовать её при $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x$$ и

$$y=4x-x^2.$$

При $$x\ge 0$$ эта функция возрастает на промежутке $$[0;2]$$ и убывает на промежутке $$[2;+\infty).$$

По чётности получаем, что на всей области определения функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;2],$$ а убывает на промежутках $$[-2;0]$$ и $$[2;+\infty).$$

Найдём экстремумы:

$$y(0)=4\cdot 0-0^2=0,$$

$$y(2)=4\cdot 2-2^2=8-4=4,$$

$$y(-2)=4\cdot |-2|-(-2)^2=8-4=4.$$

Значит, точка минимума: $$\left(0;0\right),$$ точки максимума: $$\left(-2;4\right)$$ и $$\left(2;4\right).$$

в) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{(x+1)^3}-2.$$

Это график функции $$y=\frac{1}{x^3}$$, сдвинутый на $$1$$ единицу влево и на $$2$$ единицы вниз. Поэтому функция возрастает на промежутке $$(-\infty;-1)$$ и убывает на промежутке $$(-1;+\infty).$$

Экстремумов функция не имеет.

г) Рассмотрим функцию $$y=x^2-2|x|.$$

Функция чётная, поэтому достаточно исследовать её при $$x\ge 0.$$ Тогда $$|x|=x$$ и

$$y=x^2-2x=(x-1)^2-1.$$

При $$x\ge 0$$ функция убывает на промежутке $$[0;1]$$ и возрастает на промежутке $$[1;+\infty).$$

По чётности получаем, что на всей области определения функция убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1],$$ а возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$

Найдём экстремумы:

$$y(0)=0^2-2\cdot 0=0,$$

$$y(1)=1^2-2\cdot 1=-1,$$

$$y(-1)=(-1)^2-2\cdot |-1|=-1.$$

Следовательно, точка максимума: $$\left(0;0\right),$$ точки минимума: $$\left(-1;-1\right)$$ и $$\left(1;-1\right).$$