Упр.87 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Имеют ли общие точки графики функций: а) $$y=x^2$$ и $$y=x+6$$; б) $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=4(x+1)$$; в) $$y=x^4$$ и $$y=2x^2+1$$; г) $$y=\frac{1}{x^2}$$ и $$y=x^2-2$$?
Рассмотрим каждую пару графиков и найдём точки их пересечения.
$$y=x^2 \quad \text{и} \quad y=x+6$$
Приравняем значения функций:
$$x^2=x+6$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y_1=(-2)^2=4,\quad y_2=3^2=9$$
Точки пересечения: $$(-2;4)$$ и $$(3;9)$$.
$$y=\frac{3}{x} \quad \text{и} \quad y=4(x+1)$$
Приравняем:
$$\frac{3}{x}=4(x+1)$$
$$3=4x(x+1)$$
$$4x^2+4x-3=0$$
$$D=16+48=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$
$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{1}{2}$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=\frac{3}{-\frac{3}{2}}=-2,\quad y_2=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$$
Точки пересечения: $$\left(-\frac{3}{2};-2\right)$$ и $$\left(\frac{1}{2};6\right)$$.
$$y=x^4 \quad \text{и} \quad y=2x^2+1$$
Приравняем:
$$x^4=2x^2+1$$
$$x^4-2x^2-1=0$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-2t-1=0$$
$$t_{1,2}=1\pm \sqrt{2}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, подходит только
$$x^2=1+\sqrt{2}$$
$$x=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$$
Тогда
$$y=x^4=(x^2)^2=(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}$$
Точки пересечения: $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,3+2\sqrt{2}\right)$$.
$$y=\frac{1}{x^2} \quad \text{и} \quad y=x^2-2$$
Приравняем:
$$\frac{1}{x^2}=x^2-2$$
$$1=x^4-2x^2$$
$$x^4-2x^2-1=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-2t-1=0$$
$$t_{1,2}=1\pm \sqrt{2}$$
Так как $$x^2\ge 0$$, берём только
$$x^2=1+\sqrt{2}$$
$$x=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$$
Найдём $$y$$:
$$y=x^2-2=1+\sqrt{2}-2=\sqrt{2}-1$$
Точки пересечения: $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,\sqrt{2}-1\right)$$.
Ответ: а) $$(-2;4),\ (3;9)$$; б) $$\left(-\frac{3}{2};-2\right),\ \left(\frac{1}{2};6\right)$$; в) $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,3+2\sqrt{2}\right)$$; г) $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,\sqrt{2}-1\right)$$.
