Упр.87 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=v[x]$$; б) $$y=v\{x\}$$; в) $$y=\{x\}^2$$; г) $$y=\{x^2\}$$; д) $$y=\frac{\{x\}}{[x]}$$.

а) Для функции $$y=\sqrt{[x]}$$ значение $$[x]$$ постоянно на каждом промежутке $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$. Поэтому график состоит из горизонтальных отрезков:

$$y=\sqrt{n}, \quad x\in [n;n+1), \quad n=0,1,2,\dots$$

То есть на каждом промежутке $$[n;n+1)$$ график — отрезок прямой $$y=\sqrt{n}$$, левая граница включена, правая не включена.

б) Для функции $$y=\sqrt{\{x\}}$$ имеем $$0\le \{x\}<1$$ при любом $$x$$. Значит, на каждом промежутке $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$, график повторяет одну и ту же ветвь:

$$y=\sqrt{x-n}, \quad x\in [n;n+1), \quad n\in \mathbb{Z}.$$

Это одинаковые дуги, начинающиеся в точках $$\bigl(n,0\bigr)$$ и стремящиеся к точкам $$\bigl(n+1,1\bigr)$$, не включая их.

в) Для функции $$y=\{x\}^2$$ на каждом промежутке $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$, получаем:

$$y=(x-n)^2, \quad x\in [n;n+1).$$

Следовательно, график состоит из повторяющихся участков параболы $$y=x^2$$, сдвинутых на целые числа по оси $$x$$ и взятых только при $$0\le x-n<1$$.

г) Для функции $$y=\{x^2\}$$ используем определение дробной части:

$$y=x^2-[x^2].$$

Так как $$0\le \{x^2\}<1$$, график лежит в полосе

$$0\le y<1.$$

При этом на каждом промежутке, где $$x^2$$ проходит через целые значения, график повторяет «пилообразный» вид: от значения $$0$$ он возрастает до значения, близкого к $$1$$, а затем снова скачком возвращается к $$0$$.

д) Для функции

$$y=\frac{\{x\}}{[x]}=\frac{x}{[x]}-1$$

нужно учитывать область определения: $$[x]\ne 0$$, то есть $$x\notin [0;1).$$

На каждом промежутке $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$ и $$n\ne 0$$, имеем

$$y=\frac{x-n}{n}= \frac{x}{n}-1.$$

Значит, график состоит из отрезков прямых, определённых на каждом промежутке $$[n;n+1)$$ при $$n\ne 0$$. При $$n>0$$ значения $$y$$ лежат между $$0$$ и $$\frac1n$$, а при $$n<0$$ — между $$0$$ и $$\frac1n$$, то есть ниже оси $$x$$.

Ответ

Графики функций строятся по формулам:

$$\begin{aligned} &\text{а) } y=\sqrt{n}, \quad x\in [n;n+1), \quad n=0,1,2,\dots;\\ &\text{б) } y=\sqrt{x-n}, \quad x\in [n;n+1), \quad n\in \mathbb{Z};\\ &\text{в) } y=(x-n)^2, \quad x\in [n;n+1), \quad n\in \mathbb{Z};\\ &\text{г) } y=\{x^2\}=x^2-[x^2];\\ &\text{д) } y=\dfrac{\{x\}}{[x]}=\dfrac{x}{[x]}-1,\quad x\notin [0;1). \end{aligned}$$