Упр.86 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции:

а) $$y=\left|\{x\}-\frac{1}{2}\right|$$;

б) $$y=2^{\log(2;x)}$$;

в) $$y=2^{\left|\log(2;x)\right|}+1$$;

г) $$y=\log\left(x;\frac{x}{2}\right)$$.

а) $$y=\left|x-\frac12\right|.$$

Это график модуля, поэтому

$$y= \begin{cases} \frac12-x, & x<\frac12,\\ x-\frac12, & x\ge \frac12. \end{cases}$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(\frac12,0\right).$$

б) $$y=2^{\log_2 x}.$$

Так как $$2^{\log_2 x}=x,$$ при $$x>0,$$ то график совпадает с графиком функции

$$y=x,\quad x>0.$$

Это луч прямой $$y=x$$ в правой полуплоскости, без точки $$x=0.$$

в) $$y=2^{|\log_2 x|+1}=2\cdot 2^{|\log_2 x|}.$$

Рассмотрим два случая:

$$\log_2 x\ge 0 \iff x\ge 1,\qquad \log_2 x<0 \iff 0<x<1.$$

Тогда

$$y= \begin{cases} 2\cdot 2^{\log_2 x}=2x, & x\ge 1,\\[4pt] 2\cdot 2^{-\log_2 x}=\dfrac{2}{x}, & 0<x<1. \end{cases}$$

График состоит из двух ветвей: $$y=\dfrac{2}{x}$$ при $$0<x<1$$ и $$y=2x$$ при $$x\ge 1.$$ Они соединяются в точке $$\left(1,2\right).$$

г) $$y=\log_x \frac{x}{2}.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$y=\frac{\log_2 \frac{x}{2}}{\log_2 x} =\frac{\log_2 x-\log_2 2}{\log_2 x} =\frac{\log_2 x-1}{\log_2 x} =1-\frac{1}{\log_2 x}.$$

Область определения:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x\ne 2$$

так как основание логарифма должно быть положительным и не равным $$1,$$ а аргумент $$\frac{x}{2}$$ должен быть положительным.

График функции имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и проходит через точку $$\left(2,0\right),$$ поскольку

$$\log_2 \frac{2}{2}=\log_2 1=0.$$

Ответ

а) $$y=\left|x-\frac12\right|;$$
б) $$y=x,\ x>0;$$
в) $$y= \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & 0<x<1,\\[4pt] 2x, & x\ge 1; \end{cases}$$
г) $$y=\log_x \frac{x}{2}=1-\dfrac{1}{\log_2 x},\ x>0,\ x\ne 1,\ x\ne 2.$$