Упр.85 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график каждой из функций: а) $$y=3x+|x|$$; б) $$y=|-x^2-x+2|$$; в) $$y=2x-|x-3|$$; г) $$y=x^2-4|x|+3$$.

Рассмотрим каждую функцию по частям, раскрывая модуль.

1. $$y=3x+|x|$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит

   $$y=3x+x=4x.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит

   $$y=3x-x=2x.$$

   Следовательно, график состоит из двух лучей прямых $$y=4x$$ и $$y=2x$$, соединённых в точке $$\left(0,0\right)$$.

2. $$y=\left|-x^2-x+2\right|$$

   Найдём нули выражения под модулем:

   $$-x^2-x+2=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2+x-2=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (x+2)(x-1)=0.$$

   Отсюда $$x=-2$$ и $$x=1$$.

   Вершина параболы $$y=-x^2-x+2$$:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot(-1)}=-\frac12,$$

   $$y_0=-\left(-\frac12\right)^2-\left(-\frac12\right)+2=-\frac14+\frac12+2=\frac94.$$

   После взятия модуля часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается вверх. Поэтому график проходит через точки $$(-2,0)$$ и $$\left(1,0\right)$$, а вершина средней части имеет координаты $$\left(-\frac12,\frac94\right)$$.

3. $$y=2x-|x-3|$$

   Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, значит

   $$y=2x-(x-3)=x+3.$$

   Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, значит

   $$y=2x-(3-x)=3x-3.$$

   Итак,

   $$y= \begin{cases} 3x-3, & x<3,\\ x+3, & x\ge 3. \end{cases}$$

   В точке $$x=3$$ получаем $$y=6$$, значит график состоит из двух лучей, соединённых в точке $$\left(3,6\right)$$.

4. $$y=x^2-4|x|+3$$

   Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

   $$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$

   Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

   $$y=x^2+4x+3=(x+2)^2-1.$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$. Минимумы достигаются в точках $$(-2,-1)$$ и $$\left(2,-1\right)$$, а при $$x=0$$ имеем $$y=3$$.

Ответ: графики функций построены по указанным кусочно-заданным формулам и характерным точкам.