Упр.85 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Постройте график каждой из функций:
   а) $$y=\sin x\sqrt{\cos^2 x}+\cos x\sqrt{\sin^2 x}$$;
   б) $$y=\sqrt{1-\cos^2 x}+\sin x$$;
   в) $$y=\sin^2\sqrt{\tg x}+\cos^2 x\sqrt{\tg x}$$;
   г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}+\cos x$$.

а) $$y=\sin x\sqrt{\cos^2 x}+\cos x\sqrt{\sin^2 x}=\sin x\,|\cos x|+\cos x\,|\sin x|.$$

Рассмотрим знаки $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

• если $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0,$$ то $$y=\sin x\cos x+\cos x\sin x=\sin 2x;$$
• если $$\sin x\le 0,\ \cos x\le 0,$$ то $$y=-\sin x\cos x-\cos x\sin x=-\sin 2x;$$
• если $$\sin x\ge 0,\ \cos x\le 0,$$ то $$y=0;$$
• если $$\sin x\le 0,\ \cos x\ge 0,$$ то $$y=0.$$

Значит, график состоит из участков синусоиды $$y=\sin 2x$$ и $$y=-\sin 2x$$ на соответствующих четвертях, а на остальных промежутках совпадает с осью $$Ox$$.

б) $$y=\sqrt{1-\cos^2 x}+\sin x=\sqrt{\sin^2 x}+\sin x=|\sin x|+\sin x.$$

Тогда

• при $$\sin x\ge 0$$ имеем $$y=2\sin x;$$
• при $$\sin x\le 0$$ имеем $$y=0.$$

Следовательно, график — это верхняя половина синусоиды, удвоенная по высоте, и отрезки оси $$Ox$$ там, где $$\sin x\le 0.$$

в) $$y=\sin^2\!\sqrt{\tg x}+\cos^2\!\sqrt{\tg x}.$$

По тождеству $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ получаем

$$y=1,$$

но только при условии существования корня, то есть $$\tg x\ge 0.$$ Поэтому

$$y=1,\quad \pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

График — горизонтальные отрезки прямой $$y=1$$ на указанных промежутках.

г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}+\cos x=\sqrt{\cos^2 x}+\cos x=|\cos x|+\cos x.$$

Тогда

• при $$\cos x\ge 0$$ имеем $$y=2\cos x;$$
• при $$\cos x\le 0$$ имеем $$y=0.$$

Значит, график состоит из участков косинусоиды $$y=2\cos x$$ там, где $$\cos x\ge 0,$$ и совпадает с осью $$Ox$$ там, где $$\cos x\le 0.$$

Ответ

а) $$y=\sin x\,|\cos x|+\cos x\,|\sin x|$$;
б) $$y=|\sin x|+\sin x$$;
в) $$y=1,\ \pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$y=|\cos x|+\cos x$$.