Упр.84 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте график каждой из функций: а) $$y=\{1{,}5x-1\}$$; б) $$y=\frac{12+x-x^2}{x^2-16}$$; в) $$y=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}$$; г) $$y=\frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}$$.
а) $$y=\{1{,}5x-1\}.$$
Здесь $$\{t\}$$ — дробная часть числа $$t$$. Поэтому график функции получается из прямой $$y=1{,}5x-1$$ взятием только дробных частей значений. Так как дробная часть всегда лежит в промежутке $$[0;1)$$, то график состоит из отрезков, расположенных между прямыми $$y=0$$ и $$y=1$$, с разрывами в точках, где $$1{,}5x-1$$ — целое число.
б) $$y=\dfrac{12+x-x^2}{x^2-16}.$$
Преобразуем выражение:
$$\begin{aligned} y&=\dfrac{12+x-x^2}{x^2-16} \\ &=-\dfrac{x^2-x-12}{(x-4)(x+4)} \\ &=-\dfrac{(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+4)} \\ &=-\dfrac{x+3}{x+4} \\ &=-1+\dfrac{1}{x+4}. \end{aligned}$$
При этом $$x\ne 4$$ и $$x\ne -4$$. Но точка $$x=4$$ после сокращения даёт устранимый разрыв, а при $$x=-4$$ — вертикальную асимптоту.
График функции совпадает с графиком $$y=-1+\dfrac{1}{x+4}$$ при $$x\ne 4$$, то есть это гипербола с асимптотами $$x=-4$$ и $$y=-1$$, в которой выколота точка $$\left(4,-\dfrac{1}{8}\right)$$.
в) $$y=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}.$$
Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$, то
$$y=\dfrac{\sqrt{\sin^2 x}}{\cos x}=\dfrac{|\sin x|}{\cos x}.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} \tg x, & \sin x\ge 0,\\ -\tg x, & \sin x<0. \end{cases}$$
Область определения: $$\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
График состоит из участков графика $$y=\tg x$$ там, где $$\sin x\ge 0$$, и участков графика $$y=-\tg x$$ там, где $$\sin x<0$$.
г) $$y=\dfrac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}.$$
Имеем
$$y=\dfrac{\sqrt{(x+1)^2}}{x+1}=\dfrac{|x+1|}{x+1}.$$
При $$x>-1$$ получаем
$$y=\dfrac{x+1}{x+1}=1,$$
а при $$x<-1$$
$$y=\dfrac{-(x+1)}{x+1}=-1.$$
При $$x=-1$$ функция не определена.
Значит, график — две горизонтальные полупрямые: $$y=1$$ при $$x>-1$$ и $$y=-1$$ при $$x<-1$$, с выколотой точкой в $$x=-1$$.
