Упр.84 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Для функции $$y=3\sin x-1$$ график синуса растянут по вертикали в 3 раза и сдвинут вниз на 1.

Поэтому она возрастает на промежутках $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимум достигается при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=3\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1=3\cdot 1-1=2.$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=3\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1=3\cdot(-1)-1=-4.$$

б) Для функции $$y=-2\cos x+1$$ график косинуса отражён относительно оси абсцисс, растянут в 2 раза и сдвинут вверх на 1.

Она возрастает на промежутках $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимум достигается при $$x=\pi+2\pi n$$:

$$y=-2\cos(\pi+2\pi n)+1=-2\cdot(-1)+1=3.$$

Минимум достигается при $$x=2\pi n$$:

$$y=-2\cos(2\pi n)+1=-2\cdot 1+1=-1.$$

в) Для функции $$y=2\cos x+1$$ график косинуса растянут в 2 раза и сдвинут вверх на 1.

Она возрастает на промежутках $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимум достигается при $$x=2\pi n$$:

$$y=2\cos(2\pi n)+1=2\cdot 1+1=3.$$

Минимум достигается при $$x=\pi+2\pi n$$:

$$y=2\cos(\pi+2\pi n)+1=2\cdot(-1)+1=-1.$$

г) Для функции $$y=0{,}5\sin x-1{,}5$$ график синуса сжат в 2 раза по вертикали и сдвинут вниз на 1,5.

Она возрастает на промежутках $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Максимум достигается при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=0{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1{,}5=0{,}5\cdot 1-1{,}5=-1.$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=0{,}5\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1{,}5=0{,}5\cdot(-1)-1{,}5=-2.$$

Ответ

а) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; максимум $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, минимум $$-4$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$.

б) Возрастает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right]$$; максимум $$3$$ при $$x=\pi+2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=2\pi n$$.

в) Возрастает на $$\left[-\pi+2\pi n;\,2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$; максимум $$3$$ при $$x=2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=\pi+2\pi n$$.

г) Возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; максимум $$-1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, минимум $$-2$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.