Упр.83 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$y=2-\frac{3}{x+1}$$; б) $$y=(x-2)^3-1$$; в) $$y=\frac{x^4+1}{x^4}$$; г) $$y=4-(x+2)^4$$.

а) $$y=2-\frac{3}{x+1}$$

$$y’=\frac{3}{(x+1)^2}>0$$

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left(2-\frac{3}{x+1}\right)=2$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=2$$.

Вертикальная асимптота: $$x=-1$$.

$$E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

$$y=0 \iff 2-\frac{3}{x+1}=0 \iff x=\frac12$$

$$y(0)=2-\frac{3}{1}=-1$$

Для построения графика удобно отметить точки $$\left(\frac12,0\right)$$ и $$\left(0,-1\right)$$, а также асимптоты $$x=-1$$ и $$y=2$$.

б) $$y=(x-2)^3-1$$

$$y’=3(x-2)^2\ge 0$$

Функция возрастает на всей области определения.

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;+\infty)$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

$$y=0 \iff (x-2)^3-1=0 \iff (x-2)^3=1 \iff x=3$$

$$y(0)=(-2)^3-1=-9$$

График получается из графика $$y=x^3$$ сдвигом на $$2$$ единицы вправо и на $$1$$ единицу вниз.

в) $$y=\frac{x^4+1}{x^4}=1+\frac{1}{x^4}$$

$$y’=-\frac{4}{x^5}$$

При $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, а при $$x>0$$ имеем $$y'<0$$.

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty)$$.

$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$

$$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x^4}\right)=1$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.

Так как $$\frac{1}{x^4}>0$$, то $$y>1$$, следовательно,

$$E(y)=(1;+\infty)$$

Функция чётная.

Нулей нет, так как $$1+\frac{1}{x^4}>0$$ при всех $$x\ne 0$$.

г) $$y=4-(x+2)^4$$

$$y’=-4(x+2)^3$$

Если $$x<-2$$, то $$y’>0$$; если $$x>-2$$, то $$y'<0$$.

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty)$$.

$$D(y)=(-\infty;+\infty), \qquad E(y)=(-\infty;4]$$

Максимум достигается при $$x=-2$$:

$$y(-2)=4-0=4$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

$$y=0 \iff 4-(x+2)^4=0 \iff (x+2)^4=4 \iff x=-2\pm\sqrt2$$

$$y(0)=4-2^4=-12$$

График получается из графика $$y=x^4$$ отражением относительно оси $$Ox$$, сдвигом на $$2$$ единицы влево и на $$4$$ единицы вверх.

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$, функция возрастает, асимптоты $$x=-1$$ и $$y=2$$.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на всей области определения.
в) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$(0;+\infty)$$, $$E(y)=(1;+\infty)$$.
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, максимум $$4$$ при $$x=-2$$, $$E(y)=(-\infty;4]$$.