Упр.83 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите асимптоты графика функции: а) $$y=\frac{x}{x-2}$$; б) $$y=\frac{x^2+1}{x}$$; в) $$y=\frac{x^2}{|x|+1}$$; г) $$y=\frac{x^2+4}{x^2-9}$$.

а) $$y=\frac{x}{x-2}$$

Вертикальная асимптота получается при обращении знаменателя в нуль:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2.$$

Найдём горизонтальную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{2}{x}}=1.$$

Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: $$x=2,\ y=1.$$

б) $$y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}, \quad x\ne 0.$$

При $$x=0$$ функция не определена, значит, $$x=0$$ — вертикальная асимптота.

Найдём наклонную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.$$

Следовательно, наклонная асимптота: $$y=x.$$

Ответ: $$y=x,\ x=0.$$

в) $$y=\frac{x^2}{|x|+1}.$$

При $$x\to+\infty$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому

$$y=\frac{x^2}{x+1}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x+1}=-1.$$

Значит, при $$x\to+\infty$$ асимптота: $$y=x-1.$$

При $$x\to-\infty$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$y=\frac{x^2}{1-x}, \qquad \lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x^2}{1-x}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{1-x}=-1.$$

Значит, при $$x\to-\infty$$ асимптота: $$y=-x-1.$$

Ответ: $$y=x-1,\ y=-x-1.$$

г) $$y=\frac{x^2+4}{x^2-9}, \quad x^2\ne 9,\ x\ne \pm 3.$$

Вертикальные асимптоты:

$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Найдём горизонтальную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-9}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{9}{x^2}}=1.$$

Следовательно, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: $$x=-3,\ x=3,\ y=1.$$