Упр.82 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$y=3x-5$$; б) $$y=2x^2-7x+3$$; в) $$y=2-\frac{1}{4}x$$; г) $$y=12-4x-x^2$$.
а) $$y=3x-5$$
Это линейная функция. Так как $$y'(x)=3>0,$$ функция возрастает на всей области определения.
Найдём нули и основные характеристики:
$$3x-5=0,\quad x=\frac{5}{3}.$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. При $$x=0$$ получаем $$y=-5.$$
б) $$y=2x^2-7x+3$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх, так как $$a=2>0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4x-7.$$
Критическая точка:
$$4x-7=0,\quad x=\frac{7}{4}=1{,}75.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;\frac{7}{4}]$$ и возрастает на $$[\frac{7}{4};+\infty).$$
Найдём вершину параболы:
$$y\!\left(\frac{7}{4}\right)=2\left(\frac{7}{4}\right)^2-7\cdot\frac{7}{4}+3=-\frac{25}{8}=-3\frac{1}{8}.$$
Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right).$$
Нули функции:
$$2x^2-7x+3=0,$$
$$D=49-24=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4},\quad x_1=\frac12,\quad x_2=3.$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. При $$x=0$$ имеем $$y=3.$$
в) $$y=2-\frac14x$$
Это линейная функция. Так как $$y'(x)=-\frac14<0,$$ функция убывает на всей области определения.
Найдём нуль функции:
$$2-\frac14x=0,\quad \frac14x=2,\quad x=8.$$
Тогда
$$D(x)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. При $$x=0$$ получаем $$y=2.$$
г) $$y=12-4x-x^2$$
Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, так как $$a=-1<0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-4-2x.$$
Критическая точка:
$$-4-2x=0,\quad x=-2.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty).$$
Найдём вершину параболы:
$$y(-2)=12-4\cdot(-2)-(-2)^2=16.$$
Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;+\infty),\qquad E(y)=(-\infty;16].$$
Нули функции:
$$12-4x-x^2=0,$$
$$x^2+4x-12=0,$$
$$D=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{2},\quad x_1=-6,\quad x_2=2.$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной. При $$x=0$$ имеем $$y=12.$$
Ответ
а) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает; нуль: $$x=\frac53.$$
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right),$$ функция убывает на $$(-\infty;\frac74]$$ и возрастает на $$[\frac74;+\infty),$$ нули: $$x=\frac12,\ 3.$$
в) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает; нуль: $$x=8.$$
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;16],$$ функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty),$$ нули: $$x=-6,\ 2.$$
