Упр.82 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите промежутки возрастания (убывания), максимумы и минимумы функции:

а) $$y=2\sin(x)+3\cos(x)$$;

б) $$y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}$$;

в) $$y=\cos(2x)-2\cos(x)$$;

г) $$y=\lg(\sin(x))$$.

а) $$y=2\sin x+3\cos x.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=2\cos x-3\sin x.$$

Представим её в виде одной тригонометрической функции:

$$2\cos x-3\sin x=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos x-\frac{3}{\sqrt{13}}\sin x\right)=\sqrt{13}\cos\left(x+\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}\right).$$

Тогда

$$y'(x)\ge 0 \iff \cos\left(x+\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}\right)\ge 0,$$

откуда

$$-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, функция возрастает на

$$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right],$$

убывает на

$$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right].$$

Минимум достигается при

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,$$

максимум — при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$y=\frac{x^2+x-2}{x^2-1}.$$

Разложим на множители:

$$y=\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x+2}{x+1},\quad x\ne \pm 1.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x+1)-(x+2)}{(x+1)^2}=-\frac{1}{(x+1)^2}<0.$$

Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения:

$$(-\infty;-1),\quad (-1;1),\quad (1;+\infty).$$

Экстремумов нет.

в) $$y=\cos 2x-2\cos x.$$

Найдём производную:

$$y’=-2\sin 2x+2\sin x=2\sin x-2\sin 2x.$$

Преобразуем:

$$y’=2\sin x-4\sin x\cos x=2\sin x(1-2\cos x).$$

Тогда

$$y’\ge 0 \iff \sin x(1-2\cos x)\ge 0 \iff \sin x(2\cos x-1)\le 0.$$

Отсюда получаем промежутки возрастания и убывания:

$$\text{возрастает на } \left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ 2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right],$$

$$\text{убывает на } \left[-\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

Минимумы:

$$x_{\min}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x_{\min}=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

Максимум:

$$x_{\max}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$y=\lg(\sin x).$$

Область определения задаётся условием

$$\sin x>0,$$

то есть

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как функция $$\lg t$$ возрастает при $$t>0,$$ а $$\sin x$$ на промежутке $$\left(2\pi n;\ \pi+2\pi n\right)$$ сначала возрастает, затем убывает, то

$$\text{возрастает на } \left[2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right],$$

$$\text{убывает на } \left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right].$$

Максимум достигается при

$$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n;\ \frac{3\pi}{2}-\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+2\pi n\right]$$;
б) убывает на $$(-\infty;-1),\ (-1;1),\ (1;+\infty)$$;
в) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ 2\pi n\right]\cup\left[\frac{\pi}{3}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\pi+2\pi n;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\cup\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\right]$$;
г) возрастает на $$\left[2\pi n;\ \frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\ \pi+2\pi n\right]$$, $$x_{\max}=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.