Упр.81 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Найдите промежутки возрастания (убывания), точки максимума и точки минимума функции:
а) $$y=4x^2+3x-1$$;
б) $$y=1-\frac{2}{x}$$;
в) $$y=(x-1)^4-2$$;
г) $$y=\frac{x+4}{x-1}$$.
а) $$y=4x^2+3x-1$$
Найдём производную:
$$y'(x)=8x+3.$$
Критическая точка:
$$8x+3=0,\quad x=-\frac{3}{8}.$$
Если $$x<-\frac{3}{8},$$ то $$y'(x)<0,$$ значит функция убывает. Если $$x>-\frac{3}{8},$$ то $$y'(x)>0,$$ значит функция возрастает.
Следовательно, в точке $$x=-\frac{3}{8}$$ функция имеет минимум.
Найдём значение функции в этой точке:
$$y\left(-\frac{3}{8}\right)=4\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)^2+3\cdot\left(-\frac{3}{8}\right)-1=-\frac{25}{16}.$$
б) $$y=1-\frac{2}{x}$$, $$x\neq 0$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2}{x^2}.$$
Так как $$\frac{2}{x^2}>0$$ при всех $$x\neq 0,$$ функция возрастает на каждом из промежутков области определения.
в) $$y=(x-1)^4-2$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4(x-1)^3.$$
Если $$x<1,$$ то $$y'(x)<0,$$ значит функция убывает. Если $$x>1,$$ то $$y'(x)>0,$$ значит функция возрастает.
В точке $$x=1$$ функция имеет минимум.
Значение функции:
$$y(1)=(1-1)^4-2=-2.$$
г) $$y=\frac{x+4}{x-1}$$, $$x\neq 1$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x-1)-(x+4)}{(x-1)^2}=\frac{-5}{(x-1)^2}.$$
Так как $$\frac{-5}{(x-1)^2}<0$$ при всех $$x\neq 1,$$ функция убывает на каждом промежутке области определения.
Ответ
а) возрастает на $$\left[-\frac{3}{8};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;-\frac{3}{8}\right],$$
$$x_{\min}=-\frac{3}{8},\quad y_{\min}=-\frac{25}{16}.$$
б) возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) убывает на $$(-\infty;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty),$$
$$x_{\min}=1,\quad y_{\min}=-2.$$
г) убывает на $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
