Упр.81 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на $$\mathbb{R}$$:
а) $$f(x)=2\cos(2x)+\sin^2(x)$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+3}}$$;
в) $$f(x)=2\sin^2(x)-\cos(2x)$$;
г) $$f(x)=\cos^2(x)+\cos(x)+3$$.
а) $$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$f(x)=2(1-2\sin^2 x)+\sin^2 x=2-3\sin^2 x.$$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$-3\le -3\sin^2 x\le 0,$$
следовательно,
$$-1\le 2-3\sin^2 x\le 2.$$
Значит, наибольшее значение функции равно $$2,$$ наименьшее — $$-1.$$
б) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+3}}.$$
Приведём выражение под корнем к квадрату:
$$2x^2-4x+3=2(x-1)^2+1\ge 1.$$
Тогда
$$\sqrt{2x^2-4x+3}\ge 1,$$
а значит
$$0<\frac{1}{\sqrt{2x^2-4x+3}}\le 1.$$
Максимум достигается при $$x=1,$$ когда знаменатель равен $$1.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$1,$$ наименьшего значения нет.
в) $$f(x)=2\sin^2 x-\cos 2x.$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$f(x)=2\sin^2 x-(1-2\sin^2 x)=4\sin^2 x-1.$$
Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то
$$-1\le 4\sin^2 x-1\le 3.$$
Значит, наибольшее значение равно $$3,$$ наименьшее — $$-1.$$
г) $$f(x)=\cos^2 x+\cos x+3.$$
Обозначим $$t=\cos x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$f=t^2+t+3.$$
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина находится в точке
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}.$$
Минимум:
$$f\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12\right)^2-\frac12+3=\frac14-\frac12+3=\frac{11}{4}.$$
Максимум на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:
$$f(-1)=1-1+3=3,\qquad f(1)=1+1+3=5.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$\frac{11}{4},$$ наибольшее — $$5.$$
Ответ: а) $$-1,\ 2$$; б) $$1$$, наименьшего значения нет; в) $$-1,\ 3$$; г) $$\frac{11}{4},\ 5$$.
