Упр.80 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

а) $$y=\frac{x-1}{3x}$$; б) $$y=\frac{x^2-4x-5}{9-x^2}$$; в) $$y=1-\frac{2x-3}{5-x}$$; г) $$y=2x^2-5x+2$$.

а) $$y=\frac{x-1}{3x}$$

Нули и точки разрыва: $$x=1$$, $$x=0$$.

Исследуем знак дроби на промежутках $$(-\infty;0)$$, $$(0;1)$$, $$(1;+\infty)$$:

$$\frac{x-1}{3x}>0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>1.$$

$$\frac{x-1}{3x}<0 \text{ при } 0<x<1.$$

Ответ: $$y>0$$ на $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$, $$y<0$$ на $$(0;1).$$

б) $$y=\frac{x^2-4x-5}{9-x^2}=\frac{(x-5)(x+1)}{(3-x)(3+x)}=-\frac{(x-5)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$$

Нули и точки разрыва: $$x=-1,\; x=5,\; x=-3,\; x=3.$$

Рассмотрим знаки на промежутках $$(-\infty;-3)$$, $$(-3;-1)$$, $$(-1;3)$$, $$(3;5)$$, $$(5;+\infty)$$.

Получаем:

$$y>0 \text{ на } (-3;-1)\cup(3;5),$$

$$y<0 \text{ на } (-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty).$$

Ответ: $$y>0$$ на $$(-3;-1)\cup(3;5)$$, $$y<0$$ на $$(-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty).$$

в) $$y=1-\frac{2x-3}{5-x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y=\frac{5-x-(2x-3)}{5-x}=\frac{8-3x}{5-x}=\frac{3x-8}{x-5}.$$

Нули и точки разрыва: $$x=\frac{8}{3}$$, $$x=5.$$

Исследуем знак на промежутках $$(-\infty;\frac{8}{3})$$, $$(\frac{8}{3};5)$$, $$(5;+\infty)$$:

$$y>0 \text{ на } (-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty),$$

$$y<0 \text{ на } (\frac{8}{3};5).$$

Ответ: $$y>0$$ на $$(-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty)$$, $$y<0$$ на $$(\frac{8}{3};5).$$

г) $$y=2x^2-5x+2$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2\cdot 2}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac12,\qquad x_2=2.$$

Тогда

$$2x^2-5x+2=2\left(x-\frac12\right)(x-2).$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$y>0 \text{ при } x<\frac12 \text{ и } x>2,$$

$$y<0 \text{ при } \frac12<x<2.$$

Ответ: $$y>0$$ на $$(-\infty;\frac12)\cup(2;+\infty)$$, $$y<0$$ на $$(\frac12;2).$$