Упр.80 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите, что график любой дробно-линейной функции $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ ($$c\ne0$$ и $$ad-bc\ne0$$) может быть получен из графика $$y=\frac{k}{x}$$ параллельным переносом. Укажите коэффициент $$k$$.
Преобразуем дробно-линейную функцию:
$$y=\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a\left(x+\frac{b}{a}\right)}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)}$$
Удобнее выделить сдвиги по осям, представив числитель через знаменатель:
$$y=\frac{a}{c}\cdot \frac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c}} =\frac{a}{c}\cdot \frac{x+\frac{d}{c}+\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}$$
Тогда
$$y=\frac{a}{c}\left(1+\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right) =\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\cdot \frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}.$$
После упрощения получаем
$$y=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\cdot \frac{1}{x+\frac{d}{c}}.$$
Это график функции вида $$y=\frac{k}{x}$$, сдвинутый параллельным переносом на $$\left(-\frac{d}{c},\,\frac{a}{c}\right)$$. Следовательно, любой график функции
$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$
можно получить из графика $$y=\frac{k}{x}$$ параллельным переносом, где
$$k=\frac{bc-ad}{c^2}.$$
Ответ
$$k=\frac{bc-ad}{c^2}.$$
