Упр.8 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Логарифмической функцией называют функцию вида $$y=\log_a x,$$ где $$a>0,\ a\ne 1.$$

Её основные свойства:

• область определения: $$D(x)=(0;+\infty);$$
• область значений: $$E(y)=\mathbb{R};$$
• при $$a>1$$ функция возрастает;
• при $$0<a<1$$ функция убывает.

2) Построим графики функций.

1. $$y=\log_4 x,$$ $$4>1.$$

   Это возрастающий график логарифмической функции. Он проходит через точки $$\left(1;0\right),\ \left(4;1\right),\ \left(\frac14;-1\right).$$

2. $$y=\log_{\frac15}(x-1),$$ $$0<\frac15<1.$$

   График получается из $$y=\log_{\frac15}x$$ сдвигом вправо на $$1$$. Область определения: $$x>1.$$ Асимптота: $$x=1.$$

3. $$y=\log_5 x,$$ $$5>1.$$

   Это возрастающий график, проходящий через точки $$\left(1;0\right),\ \left(5;1\right),\ \left(\frac15;-1\right).$$

4. $$y=\log_{\frac14}x+1,$$ $$0<\frac14<1.$$

   График получается из $$y=\log_{\frac14}x$$ сдвигом вверх на $$1.$$ Он убывает, область определения: $$x>0,$$ асимптота: $$x=0.$$

3) Сравним числа.

1. $$3\lg 2=\lg 2^3=\lg 8,$$
   а так как $$7<8,$$ то при основании $$10>1$$
   $$\lg 7<\lg 8.$$

   Больше число $$3\lg 2.$$

2. Так как $$\frac13<1$$ и $$5<6,$$ то при основании меньше 1 знак неравенства меняется:
   $$\log_{\frac13}5>\log_{\frac13}6.$$

   Больше число $$\log_{\frac13}5.$$

3. Так как $$3>1$$ и $$5<6,$$ то
   $$\log_3 5<\log_3 6.$$

   Больше число $$\log_3 6.$$

4. $$\log_3 2=\frac{1}{\log_2 3}.$$
   Так как $$\log_2 3>1,$$ то
   $$\frac{1}{\log_2 3}<1,$$
   значит
   $$\log_3 2<\log_2 3.$$

   Больше число $$\log_2 3.$$

Ответ

1) $$y=\log_a x,\ a>0,\ a\ne 1;\ D(x)=(0;+\infty),\ E(y)=\mathbb{R};$$ при $$a>1$$ функция возрастает, при $$0<a<1$$ убывает.

2) Графики: а) $$y=\log_4 x$$; б) $$y=\log_{\frac15}(x-1)$$; в) $$y=\log_5 x$$; г) $$y=\log_{\frac14}x+1.$$

3) а) $$3\lg 2$$; б) $$\log_{\frac13}5$$; в) $$\log_3 6$$; г) $$\log_2 3.$$