Упр.8 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулу Лагранжа.
- Сформулируйте признак возрастания (признак убывания) функции.
- Исследуйте на возрастание и убывание функцию:
а) $$y=\frac{x}{x^2+9}$$;
б) $$y=3x-\sin(3x)$$;
в) $$y=x^4-4x$$;
г) $$y=x^2+\frac{16}{x}$$.
1) По теореме Лагранжа, если функция $$f$$ непрерывна на отрезке $$[a;b]$$ и дифференцируема на интервале $$(a;b)$$, то найдётся такая точка $$c \in (a;b)$$, что
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
2) Если на интервале производная функции положительна, то функция возрастает на этом интервале; если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале.
3) Исследуем функции на возрастание и убывание.
$$y=\frac{x}{x^2+9}, \quad x \in \mathbb{R}.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x^2+9)-2x^2}{(x^2+9)^2}=\frac{9-x^2}{(x^2+9)^2}.$$
Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется числителем:
$$9-x^2 \ge 0 \iff -3 \le x \le 3.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-3;3]$$, убывает на $$(-\infty;-3] \cup [3;+\infty).$$
$$y=3x-\sin 3x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3-3\cos 3x=3(1-\cos 3x).$$
Так как $$\cos 3x \le 1$$, то $$1-\cos 3x \ge 0$$, значит
$$y'(x)\ge 0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}.$$
Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой.
$$y=x^4-4x.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=4x^3-4=4(x^3-1)=4(x-1)(x^2+x+1).$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x-1$$:
$$y'(x)<0 \text{ при } x<1, \qquad y'(x)>0 \text{ при } x>1.$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
$$y=x^2+\frac{16}{x}, \quad x \ne 0.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2x^3-16}{x^2}.$$
Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, знак производной определяется числителем:
$$2x^3-16 \ge 0 \iff x^3 \ge 8 \iff x \ge 2.$$
Значит, функция возрастает на $$[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;2].$$
Ответ
1) $$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}, \quad c\in(a;b).$$
2) Если $$f'(x)>0$$ на интервале, то функция возрастает; если $$f'(x)<0$$, то убывает.
3) а) возрастает на $$[-3;3]$$, убывает на $$(-\infty;-3] \cup [3;+\infty)$$;
б) возрастает на $$\mathbb{R}$$;
в) убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$;
г) возрастает на $$[2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;2]$$.
