Упр.8 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы двойного аргумента.
- Вычислите:
а) $$\sin(2?)$$, если $$\cos(?)=-\frac{4}{5}$$, $$? б) $$\operatorname{tg}(2?)$$, если $$\sin(?)=\frac{12}{13}$$, $$\cos(?)<0$$;
в) $$\cos(2?)$$, если $$\sin(?)=\frac{15}{17}$$;
г) $$\operatorname{tg}(2?)$$, если $$\cos(?)=\frac{3}{5}$$, $$\frac{3?}{2} - Докажите тождество:
а) $$\frac{2\operatorname{tg}(?)}{1-\operatorname{tg}^2(?)}(2\cos^2(?)-1)=\sin(2?)$$;
б) $$\frac{1-\cos(2?)+\sin(2?)}{1+\cos(2?)+\sin(2?)}=\operatorname{tg}(?)$$;
в) $$1-(\cos(?)-\sin(?))^2=\sin(2?)$$;
г) $$\operatorname{tg}(?)(1+\cos(2?))=\sin(2?)$$.
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
Ход решения
Запишем формулы двойного аргумента:
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha,$$
$$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
Вычислим значения.
а) $$\sin 2\alpha,$$ если $$\cos\alpha=-\frac45,$$ $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\sin\alpha<0.$$ Тогда
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac35.$$
Следовательно,
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac45\right)=\frac{24}{25}.$$
б) $$\tg 2\alpha,$$ если $$\sin\alpha=\frac{12}{13},$$ $$\cos\alpha<0.$$
Так как $$\cos\alpha<0,$$ то
$$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{144}{169}}=-\frac{5}{13}.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{-5/13}=-\frac{12}{5}.$$
Теперь
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)}{1-\left(-\frac{12}{5}\right)^2}=\frac{-\frac{24}{5}}{1-\frac{144}{25}}=\frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}}=\frac{120}{119}.$$
в) $$\cos 2\alpha,$$ если $$\sin\alpha=\frac{15}{17}.$$
Находим:
$$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac{225}{289}=\frac{64}{289}.$$
Тогда
$$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{64}{289}-\frac{225}{289}=-\frac{161}{289}.$$
г) $$\tg 2\alpha,$$ если $$\cos\alpha=\frac35,$$ $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$
Так как $$\alpha$$ в IV четверти, то $$\sin\alpha<0.$$ Следовательно,
$$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac45.$$
Тогда
$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-4/5}{3/5}=-\frac43.$$
Имеем
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\left(-\frac43\right)}{1-\left(-\frac43\right)^2}=\frac{-\frac83}{1-\frac{16}{9}}=\frac{-\frac83}{-\frac79}=\frac{24}{7}.$$
Докажем тождества.
а)
$$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\,(2\cos^2\alpha-1)=\tg 2\alpha\cdot\cos 2\alpha.$$
Так как $$\tg 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha},$$ то
$$\tg 2\alpha\cdot\cos 2\alpha=\sin 2\alpha.$$
б)
$$\frac{1-\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}{1+\cos 2\alpha+\sin 2\alpha}=\tg\alpha.$$
Подставим формулы двойного угла:
$$\frac{1-(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}{1+(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{\sin^2\alpha+\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha}$$
$$=\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}{2\cos\alpha(\sin\alpha+\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha.$$
в)
$$1-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\sin 2\alpha.$$
Раскроем квадрат:
$$1-(\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)$$
$$=1-\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha.$$
г)
$$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\sin 2\alpha.$$
Используем формулу $$1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha$$:
$$\tg\alpha(1+\cos 2\alpha)=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot 2\cos^2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha.$$
Ответ
1) $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,$$ $$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha,$$ $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1,$$ $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
2) а) $$\frac{24}{25};$$ б) $$\frac{120}{119};$$ в) $$-\frac{161}{289};$$ г) $$\frac{24}{7}.$$
3) Все тождества верны.
