Упр.8 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Решите в целых числах уравнения:

а) $$3^x=1+y^2$$; б) $$2^x-1=y^2$$; в) $$x^2-y^2=91$$; г) $$2^x+1=y^2$$.

а) $$3^x=1+y^2.$$

Так как $$3^x$$ — степень числа $$3$$, то правая часть должна быть кратна $$3$$:

$$1+y^2=3k.$$

Тогда

$$y^2=3k-1.$$

Квадрат целого числа при делении на $$3$$ может давать только остатки $$0$$ или $$1$$. Значит, $$y^2=0,$$ откуда $$y=0.$$

Подставим в уравнение:

$$3^x=1,$$

следовательно,

$$x=0.$$

Ответ: $$(0;0).$$

б) $$2^x-1=y^2.$$

Проверим малые значения $$x$$:

$$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad y=0;$$

$$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad y=\pm1.$$

При $$x\ge 2$$ число $$2^x-1$$ нечётно. Квадрат целого числа тоже может быть нечётным, но если $$x\ge 2,$$ то

$$2^x-1\equiv -1 \pmod 4,$$

а квадрат целого числа по модулю $$4$$ может быть только $$0$$ или $$1.$$ Значит, при $$x\ge 2$$ решений нет.

Итак, получаем:

$$(x,y)=(0,0),\ (1,1),\ (1,-1).$$

Ответ: $$(0;0),\ (1;1),\ (1;-1).$$

в) $$x^2-y^2=91.$$

Разложим на множители:

$$(x-y)(x+y)=91.$$

Так как $$91=1\cdot 91=7\cdot 13,$$ рассмотрим разложения числа $$91$$ на пары множителей с учётом знаков:

$$x-y=1,\quad x+y=91;$$

$$x-y=7,\quad x+y=13;$$

$$x-y=-1,\quad x+y=-91;$$

$$x-y=-7,\quad x+y=-13.$$

Решаем системы:

$$\begin{aligned} x-y&=1,\\ x+y&=91 \end{aligned} \Rightarrow x=46,\ y=45;$$

$$\begin{aligned} x-y&=7,\\ x+y&=13 \end{aligned} \Rightarrow x=10,\ y=3.$$

С учётом отрицательных пар получаем ещё:

$$(-46,-45),\ (-10,-3).$$

Ответ: $$(46;45),\ (46;-45),\ (-46;45),\ (-46;-45),\ (10;3),\ (10;-3),\ (-10;3),\ (-10;-3).$$

г) $$2^x+1=y^2.$$

Перенесём 1:

$$2^x=y^2-1=(y-1)(y+1).$$

Правая часть — произведение двух соседних чётных чисел, если $$y$$ нечётно. Чтобы произведение было степенью двойки, оба множителя должны быть степенями двойки. Это возможно только при

$$y-1=2,\quad y+1=4,$$

откуда

$$y=3.$$

Тогда

$$2^x=3^2-1=8,$$

значит,

$$x=3.$$

При $$y=-3$$ получаем то же значение $$y^2=9$$, поэтому решение также подходит.

Ответ: $$(3;3),\ (3;-3).$$