Упр.79 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите чётность (нечётность) функции:
а) $$y=x^3-3x$$;
б) $$y=\frac{5x^3}{1-x^2}$$;
в) $$y=x^4(x^2+2)$$;
г) $$y=\frac{|x|+2}{x^2}$$.
а) Рассмотрим функцию $$y=x^3-3x.$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$y(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{5x^3}{1-x^2}.$$
Область определения: $$1-x^2\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$y(-x)=\frac{5(-x)^3}{1-(-x)^2}=\frac{-5x^3}{1-x^2}=-y(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
в) Рассмотрим функцию $$y=x^4(x^2+2).$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$y(-x)=(-x)^4\bigl((-x)^2+2\bigr)=x^4(x^2+2)=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
г) Рассмотрим функцию $$y=\frac{|x|+2}{x^2}.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Найдём значение функции при $$-x$$:
$$y(-x)=\frac{|-x|+2}{(-x)^2}=\frac{|x|+2}{x^2}=y(x).$$
Следовательно, функция чётная.
Ответ
а) нечётная; б) нечётная; в) чётная; г) чётная.
