Упр.79 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите последовательность преобразований, с помощью которых из графика функции $$f$$ может быть получен график функции $$?$$:
   а) $$f(x)=\sin(x),\quad ?(x)=\sin(x)+\cos(x)$$;
   б) $$f(x)=\sin^2(x),\quad ?(x)=\sin^4(x)+\cos^4(x)$$.

а) Преобразуем функцию:

$$\varphi(x)=\sin x+\cos x$$

Представим сумму синуса и косинуса в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Значит, график функции $$\varphi(x)$$ получается из графика $$f(x)=\sin x$$ так:

• сдвиг на $$\frac{\pi}{4}$$ единиц влево;
• растяжение в $$\sqrt{2}$$ раза вдоль оси $$Oy$$.

б) Преобразуем функцию:

$$\varphi(x)=\sin^4 x+\cos^4 x$$

Используем тождество:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$, то

$$\varphi(x)=1-2\sin^2 x\cos^2 x=1-\frac{1}{2}\sin^2 2x.$$

Теперь выразим через $$f(x)=\sin^2 x$$:

$$\varphi(x)=1-\frac{1}{2}f(2x).$$

Следовательно, график функции $$\varphi(x)$$ получается из графика $$f(x)=\sin^2 x$$ так:

• сжать его в 2 раза вдоль оси $$Ox$$;
• отразить относительно оси $$Ox$$;
• сжать его в 2 раза вдоль оси $$Oy$$;
• переместить его на 1 единицу вверх.

Ответ

а) Сдвинуть график на $$\frac{\pi}{4}$$ влево и растянуть в $$\sqrt{2}$$ раза вдоль оси $$Oy$$.

б) Сжать график в 2 раза вдоль оси $$Ox$$, отразить относительно оси $$Ox$$, сжать в 2 раза вдоль оси $$Oy$$ и поднять на 1 единицу вверх.