Упр.78 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите промежутки непрерывности функции:

а) $$y=\frac{x-4}{x^3-x}$$;

б) $$y=x^2+\frac{4}{x-1}$$;

в) $$y=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}$$;

г) $$y=\frac{1}{3x^3-2x^2+5}$$.

а) $$y=\frac{x-4}{x^3-x}$$

Функция непрерывна при всех значениях $$x$$, где знаменатель не равен нулю:

$$x^3-x\ne 0$$

$$x(x^2-1)\ne 0$$

$$x(x-1)(x+1)\ne 0$$

Следовательно, $$x\ne -1,\;0,\;1$$.

Значит, промежутки непрерывности:

$$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$

б) $$y=x^2+\frac{4}{x-1}$$

Функция непрерывна при $$x-1\ne 0$$, то есть при $$x\ne 1$$.

Промежутки непрерывности:

$$(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

в) $$y=\frac{x}{2}-\frac{2}{x}$$

Функция непрерывна при $$x\ne 0$$.

Промежутки непрерывности:

$$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

г) $$y=\frac{1}{3x^3-2x^2+5}$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ знаменатель равен нулю:

$$3x^3-2x^2+5=0$$

Проверим разложение на множители:

$$3x^3-2x^2+5=(x+1)(3x^2-5x+5).$$

Тогда

$$(x+1)(3x^2-5x+5)\ne 0.$$

Квадратный трёхчлен $$3x^2-5x+5$$ действительных корней не имеет, так как

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 5=25-60=-35<0.$$

Значит, единственная точка разрыва: $$x=-1$$.

Промежутки непрерывности:

$$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)$$;

б) $$(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$$;

в) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;

г) $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)$$.