Упр.77 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область определения функции:

а) $$y=\frac{x-2}{x^2+2x-8}$$; б) $$y=\frac{x^2}{x^4-1}$$; в) $$y=\frac{x^2-1}{x^4-9x^2+20}$$; г) $$y=\frac{x}{3x^2-5x+4}$$.

а) Знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$x^2+2x-8\ne 0$$

$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$$

Следовательно, $$x\ne -4$$ и $$x\ne 2$$.

Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(-4;2)\cup(2;+\infty).$$

б) Требуем, чтобы знаменатель был отличен от нуля:

$$x^4-1\ne 0$$

$$x^4\ne 1,\quad x^2\ne 1,\quad x\ne \pm 1$$

Ответ: $$(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty).$$

в) Найдём значения $$x$$, при которых знаменатель равен нулю:

$$x^4-9x^2+20\ne 0$$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$t^2-9t+20=0$$

$$D=9^2-4\cdot 20=81-80=1$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm 1}{2}$$

$$t_1=4,\quad t_2=5$$

Значит,

$$x^2\ne 4,\quad x^2\ne 5$$

$$x\ne \pm 2,\quad x\ne \pm \sqrt5$$

Ответ: $$(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;-2)\cup(-2;2)\cup(2;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty).$$

г) Знаменатель должен быть ненулевым:

$$3x^2-5x+4\ne 0$$

Рассмотрим квадратное уравнение $$3x^2-5x+4=0$$:

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 4=25-48=-23<0$$

Корней нет, значит, знаменатель не обращается в нуль ни при каком $$x$$.

Ответ: $$(-\infty;+\infty).$$