Упр.76 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Проверим для каждой функции, выполняется ли равенство $$y(x+2)=y(x)$$ при всех $$x$$. Если нет, то число $$2$$ не является периодом функции.

Ход решения

1. $$y=x^2-3$$

   $$y(x+2)=(x+2)^2-3=x^2+4x+1.$$

   Тогда

   $$x^2+4x+1=x^2-3,$$

   откуда

   $$4x=-4,\qquad x=-1.$$

   Равенство выполняется не при всех $$x$$, значит, число $$2$$ не является периодом функции.

2. $$y=\cos x$$

   $$y(x+2)=\cos(x+2).$$

   Чтобы $$2$$ было периодом, должно выполняться

   $$\cos(x+2)=\cos x$$

   при всех $$x$$, но это неверно. Следовательно, число $$2$$ не является периодом функции $$y=\cos x$$.

3. $$y=3x-5$$

   $$y(x+2)=3(x+2)-5=3x+1.$$

   Тогда

   $$3x+1=3x-5,$$

   что невозможно. Значит, число $$2$$ не является периодом функции.

4. $$y=|x|$$

   $$y(x+2)=|x+2|.$$

   Для периода должно быть

   $$|x+2|=|x|$$

   при всех $$x$$, но это неверно. Следовательно, число $$2$$ не является периодом функции $$y=|x|$$.

Ответ

Во всех четырёх случаях число $$2$$ не является периодом функции.