Упр.74 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) график четной функции симметричен относительно оси ординат; б) график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пусть точка $$A(x;y)$$ принадлежит графику функции.

а) Чётная функция

Если функция чётная, то для любого $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=f(x)$$.

Значит, если точка $$A(x;y)$$ лежит на графике, то $$y=f(x)$$, а потому

$$f(-x)=f(x)=y.$$

Следовательно, точка $$B(-x;y)$$ тоже принадлежит графику.

Итак, вместе с каждой точкой $$A(x;y)$$ график содержит точку $$B(-x;y)$$, то есть он симметричен относительно оси ординат.

б) Нечётная функция

Если функция нечётная, то для любого $$x$$ из области определения выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.

Если точка $$A(x;y)$$ принадлежит графику, то $$y=f(x)$$, значит

$$f(-x)=-f(x)=-y.$$

Следовательно, точка $$B(-x;-y)$$ тоже принадлежит графику.

Итак, вместе с каждой точкой $$A(x;y)$$ график содержит точку $$B(-x;-y)$$, то есть он симметричен относительно начала координат.

Ответ

График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции — относительно начала координат.