Упр.74 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Построим графики, используя преобразования основных тригонометрических функций.
а) $$y=1-\cos 1{,}5x$$
Это график функции $$y=\cos x$$, отражённый относительно оси $$Ox$$, затем сдвинутый вверх на $$1$$ и сжатый по оси $$x$$ в $$1{,}5$$ раза.
Так как $$1-\cos 1{,}5x=1-\cos\left(\frac{3x}{2}\right),$$ период равен
$$T=\frac{2\pi}{3}.$$
Опорные точки за один период:
$$x=0 \Rightarrow y=0,$$
$$x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow y=1-\cos\frac{\pi}{2}=1,$$
$$x=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow y=1-\cos\pi=2,$$
$$x=\pi \Rightarrow y=1-\cos\frac{3\pi}{2}=1,$$
$$x=\frac{4\pi}{3} \Rightarrow y=1-\cos 2\pi=0.$$
б) $$y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$
Преобразуем:
$$y=\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right).$$
Значит, график $$y=\sin x$$ сжат по оси $$x$$ в 2 раза и сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{6}.$$
Период:
$$T=\pi.$$
Опорные точки:
$$x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow y=0,$$
$$x=\frac{5\pi}{12} \Rightarrow y=1,$$
$$x=\frac{2\pi}{3} \Rightarrow y=0,$$
$$x=\frac{11\pi}{12} \Rightarrow y=-1,$$
$$x=\frac{7\pi}{6} \Rightarrow y=0.$$
в) $$y=2+\sin\frac{x}{2}$$
Это график $$y=\sin x$$, растянутый по оси $$x$$ в 2 раза и сдвинутый вверх на $$2.$$
Период:
$$T=4\pi.$$
Область значений:
$$1\le y\le 3.$$
Опорные точки:
$$x=0 \Rightarrow y=2,$$
$$x=\pi \Rightarrow y=3,$$
$$x=2\pi \Rightarrow y=2,$$
$$x=3\pi \Rightarrow y=1,$$
$$x=4\pi \Rightarrow y=2.$$
г) $$y=\tg\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)$$
Преобразуем:
$$y=\tg\left(2\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right).$$
Значит, график $$y=\tg x$$ сжат по оси $$x$$ в 2 раза и сдвинут вправо на $$\frac{\pi}{12}.$$
Период:
$$T=\frac{\pi}{2}.$$
Вертикальные асимптоты находятся из условия
$$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+\pi k,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Нули функции:
$$2x-\frac{\pi}{6}=\pi k,$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}, \quad k\in\mathbb{Z}.$$
Ответ: графики получаются из основных графиков $$y=\cos x,$$ $$y=\sin x,$$ $$y=\tg x$$ соответствующими сдвигами и растяжениями; основные параметры указаны выше.
