Упр.73 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Боковое ребро правильной треугольной призмы равно стороне основания. Задайте формулой: а) объем призмы как функцию стороны основания; б) площадь боковой поверхности призмы как функцию объема.

Пусть сторона основания призмы равна $$a$$. Тогда основание — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, а боковое ребро равно $$a$$, значит высота призмы тоже равна $$a$$.

а) Объём призмы как функция стороны основания

Площадь основания равностороннего треугольника:

$$S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда объём призмы:

$$V(a)=S_{осн}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$$

б) Площадь боковой поверхности как функция объёма

Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы:

$$S_{бок}=P_{осн}\cdot a=3a\cdot a=3a^2.$$

Из формулы объёма

$$V=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$$

получаем

$$a^3=\frac{4V}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$a^2=\sqrt[3]{\left(\frac{4V}{\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{16V^2}{3}}.$$

Следовательно,

$$S_{бок}(V)=3\sqrt[3]{\frac{16V^2}{3}}=\sqrt[3]{144V^2}.$$

Ответ: $$V(a)=\frac{a^3\sqrt{3}}{4},\qquad S_{бок}(V)=\sqrt[3]{144V^2}.$$