Упр.73 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

Так как функция $$\cos 2x$$ имеет период $$\pi,$$ то и функция $$y=\sin^2 x$$ имеет наименьший положительный период

$$T=\pi.$$

б) $$y=\tg x\ctg x=1.$$

При этом область определения функции:

$$x\neq \frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Постоянная функция на своей области определения периодична, и наименьший положительный период равен

$$T=\frac{\pi}{2}.$$

в) $$y=\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x).$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$y=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x.$$

Следовательно, наименьший положительный период функции равен

$$T=\pi.$$

г) $$y=\left(\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)^2.$$

Раскроем квадрат суммы:

$$y=\sin^2 \frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}.$$

С учётом тождества $$\sin^2 \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}=1$$ и формулы $$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\sin x$$ получаем

$$y=1+\sin x.$$

Наименьший положительный период этой функции равен

$$T=2\pi.$$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2}$$; в) $$\pi$$; г) $$2\pi$$.