Упр.72 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Одно основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, угол при основании 30°. Задайте формулой: а) площадь трапеции как функцию боковой стороны; б) периметр трапеции как функцию её высоты.

Обозначим боковую сторону трапеции через $$a.$$ Тогда по условию $$AB=BC=CD=a,$$ а угол $$\angle BAD=30^\circ.$$

Опустим высоту $$BH$$ на основание $$AD.$$ Тогда

$$AH=AB\cdot \cos 30^\circ=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

$$BH=AB\cdot \sin 30^\circ=a\cdot \frac12=\frac a2.$$

Так как трапеция равнобедренная, то

$$AD=BC+2AH=a+a\sqrt{3}=a(1+\sqrt{3}).$$

Решение

а) Площадь трапеции:

$$S=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH.$$

Подставим найденные выражения:

$$S=\frac{a+a(1+\sqrt{3})}{2}\cdot \frac a2=\frac{a(2+\sqrt{3})}{2}\cdot \frac a2=\frac{a^2}{4}(2+\sqrt{3}).$$

Итак, площадь трапеции как функция боковой стороны:

$$S(a)=\frac{a^2}{4}(2+\sqrt{3}).$$

б) Пусть высота трапеции равна $$h.$$ Тогда из $$BH=\frac a2$$ получаем

$$a=2h.$$

Периметр трапеции:

$$P=AB+BC+CD+AD=3a+a(1+\sqrt{3})=a(4+\sqrt{3}).$$

Подставим $$a=2h$$:

$$P(h)=2h(4+\sqrt{3}).$$

Ответ

$$S(a)=\frac{a^2}{4}(2+\sqrt{3}), \qquad P(h)=2h(4+\sqrt{3}).$$