Упр.72 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите функцию, обратную данной. Постройте графики найденных функций: а) $$y=\sqrt{x+1}$$; б) $$y=\lg(1-x)$$; в) $$y=\sqrt{\frac{1}{x}}$$; г) $$y=\sqrt{\lg x}$$.
Найдём обратные функции, меняя местами $$x$$ и $$y$$ и выражая $$y$$.
а)
$$y=\sqrt{x+1}, \quad y\ge 0$$
$$x=\sqrt{y+1}$$
$$x^2=y+1$$
$$y=x^2-1$$
Так как у исходной функции $$y\ge 0$$, то для обратной функции область определения: $$x\ge 0.$$
Итак, обратная функция:
$$y=x^2-1,\quad x\ge 0.$$
б)
$$y=\lg(1-x)$$
$$1-x=10^y$$
$$x=1-10^y$$
Меняем обозначения переменных:
$$y=1-10^x.$$
Область определения обратной функции: $$x\in \mathbb{R}.$$
в)
$$y=\sqrt{\frac{1}{x}}, \quad y>0$$
$$x=\sqrt{\frac{1}{y}}$$
$$x^2=\frac{1}{y}$$
$$y=\frac{1}{x^2}$$
Так как $$y>0$$, то для обратной функции $$x>0.$$
Итак, обратная функция:
$$y=\frac{1}{x^2},\quad x>0.$$
г)
$$y=\sqrt{\lg x}, \quad y\ge 0$$
$$y^2=\lg x$$
$$x=10^{y^2}$$
Меняем обозначения переменных:
$$y=10^{x^2}.$$
Область определения обратной функции: $$x\ge 0.$$
Ответ
а) $$y=x^2-1,\quad x\ge 0;$$
б) $$y=1-10^x;$$
в) $$y=\frac{1}{x^2},\quad x>0;$$
г) $$y=10^{x^2},\quad x\ge 0.$$
