Упр.70 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите и найдите приближённое значение выражения $$\log(3;2)\cdot\log(4;3)\cdot\log(5;4)\cdot\log(6;5)\cdot\ldots\cdot\log(10;9)$$.

Обозначим

$$S=\log_3 2\cdot \log_4 3\cdot \log_5 4\cdot \log_6 5\cdot \ldots \cdot \log_{10} 9.$$

Перепишем каждый логарифм по формуле перехода к новому основанию:

$$S=\frac{\log_3 2}{\log_3 4}\cdot \frac{\log_5 4}{\log_5 6}\cdot \frac{\log_7 6}{\log_7 8}\cdot \frac{\log_9 8}{\log_9 10}.$$

Удобнее сгруппировать множители так, чтобы получить сокращение:

$$S=\log_4 2\cdot \log_6 4\cdot \log_8 6\cdot \log_{10} 8.$$

Так как

$$\log_4 2=\frac12,$$

а также

$$\log_6 4\cdot \log_8 6\cdot \log_{10} 8=\log_{10} 4,$$

то

$$S=\frac12\log_{10}4=\log_{10}2=\lg 2.$$

Теперь найдём приближённое значение:

$$\lg 2\approx 0{,}3010.$$

Ответ: $$0{,}3010.$$