Упр.70 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Среди функций вида: а) $$y=\frac{1}{ax+b}$$; б) $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ — найдите все, совпадающие с обратными к самим себе.
Рассмотрим функции, которые совпадают со своими обратными, то есть для них выполняется $$f(f(x))=x.$$
а)
Пусть
$$f(x)=\frac{1}{ax+b}.$$
Тогда
$$f(f(x))=\frac{1}{a\cdot \frac{1}{ax+b}+b}=\frac{ax+b}{a+b(ax+b)}.$$
По условию это должно равняться $$x$$:
$$\frac{ax+b}{a+b(ax+b)}=x.$$
Умножим на знаменатель:
$$ax+b=x\bigl(a+b(ax+b)\bigr)=ax+abx^2+bx^2.$$
После сокращения $$ax$$ получаем
$$b=abx^2+bx^2=b(a+b)x^2.$$
Это равенство должно выполняться при всех допустимых $$x$$, значит возможно только $$b=0$$. Тогда
$$f(x)=\frac{1}{ax}.$$
Проверка:
$$f(f(x))=\frac{1}{a\cdot \frac{1}{ax}}=x.$$
б)
Пусть
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}.$$
Тогда
$$f(f(x))=\frac{a\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+b}{c\cdot \frac{ax+b}{cx+d}+d}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$f(f(x))=\frac{a(ax+b)+b(cx+d)}{c(ax+b)+d(cx+d)}.$$
Раскроем скобки:
$$f(f(x))=\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{(ac+dc)x+(bc+d^2)}.$$
Так как $$f(f(x))=x$$, то
$$\frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{(ac+dc)x+(bc+d^2)}=x.$$
После умножения на знаменатель получаем:
$$(a^2+bc)x+b(a+d)=x\bigl((ac+dc)x+(bc+d^2)\bigr).$$
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $$x$$, имеем:
$$ac+dc=0,$$
$$a^2+bc=bc+d^2,$$
$$b(a+d)=0.$$
Из первого равенства:
$$c(a+d)=0.$$
Если $$c=0$$, то функция имеет вид
$$f(x)=\frac{ax+b}{d}.$$
Тогда из условия $$f(f(x))=x$$ получаем линейную функцию вида $$f(x)=\pm x$$. Действительно, при $$b=0$$ и $$a=d$$ получаем $$f(x)=x$$, а при $$b=0$$ и $$a=-d$$ получаем $$f(x)=-x$$.
Если же $$a+d=0$$, то $$d=-a$$, и из второго равенства следует
$$a^2+bc=bc+a^2,$$
что выполняется тождественно, а из третьего равенства получаем
$$b(a-a)=0.$$
Значит, при $$d=-a$$ функция
$$f(x)=\frac{ax+b}{cx-a}$$
является обратной самой себе при условии
$$bc\ne -a^2$$
чтобы дробь была определена и не вырождалась.
Итак, среди дробно-линейных функций обратными к самим себе являются:
$$y=\frac{1}{ax},\quad a\ne 0;$$
$$y=\frac{ax+b}{cx-a},\quad bc\ne -a^2;$$
а также линейные случаи
$$y=x,\qquad y=-x.$$
Ответ
а) $$y=\frac{1}{ax},\ a\ne 0.$$
б) $$y=\frac{ax+b}{cx-a},\ bc\ne -a^2,$$ а также $$y=x$$ и $$y=-x.$$
