Упр.70 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Для функции $$y=\frac{\sin x}{x^3-1}$$ область определения задаётся условием $$x^3-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1.$$

Область определения несимметрична относительно нуля: если $$x=-1$$ принадлежит области определения, то симметричная точка $$x=1$$ не принадлежит ей. Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.

б) Для функции $$y=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}$$ область определения задаётся условием $$x-\sin x\ne 0.$$

Равенство $$x=\sin x$$ возможно только при $$x=0,$$ значит, $$x\ne 0.$$ Область определения $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$ симметрична относительно нуля.

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{-x+\sin(-x)}{-x-\sin(-x)}=\frac{-x-\sin x}{-x+\sin x}=\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

в) Для функции $$y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}$$ область определения задаётся условиями

$$1-x\ne 0,\qquad 1-x^2\ge 0.$$

Отсюда $$x\ne 1$$ и $$-1\le x\le 1,$$ значит, $$x\in[-1;1).$$

Область определения несимметрична относительно нуля: точка $$x=-1$$ принадлежит ей, а симметричная точка $$x=1$$ — нет. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

г) Для функции $$y=\frac{x+\tg x}{x\cos x}$$ область определения задаётся условиями $$x\cos x\ne 0.$$

Значит, $$x\ne 0$$ и $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$ Область определения симметрична относительно нуля.

Проверим чётность:

$$y(-x)=\frac{-x+\tg(-x)}{-x\cos(-x)}=\frac{-x-\tg x}{-x\cos x}=\frac{x+\tg x}{x\cos x}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная.

Ответ: а) ни чётная, ни нечётная; б) чётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) чётная.