Упр.7 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) $$|a|=|-a|$$;
   б) $$|x|?|x|$$;
   в) $$|x|^2=x^2$$.

а) По определению модуля:

$$|a|=\begin{cases} a, & a\ge 0,\\ -a, & a<0. \end{cases}$$
Тогда для числа $$-a$$ имеем:
$$|-a|=\begin{cases} -a, & -a\ge 0 \ (a\le 0),\\ a, & -a<0 \ (a>0). \end{cases}$$
В обоих случаях получаем $$|a|=|-a|$$.

б) Для любого числа $$x$$ модуль неотрицателен, то есть $$|x|\ge 0$$. Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$. Если $$x<0$$, то $$|x|=-x>x$$. Значит, во всех случаях

$$x\le |x|.$$

в) Рассмотрим два случая:

$$|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\ -x, & x<0. \end{cases}$$
Тогда
$$|x|^2=\begin{cases} x^2, & x\ge 0,\\ (-x)^2=x^2, & x<0. \end{cases}$$
Следовательно, $$|x|^2=x^2$$.

Ответ: $$|a|=|-a|,\quad x\le |x|,\quad |x|^2=x^2.$$