Упр.7 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1) Основные свойства логарифмов:

1. $$\log_a 1=0$$
2. $$\log_a a=1$$
3. $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$
4. $$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$
5. $$\log_a x^p=p\log_a x$$

2) Прологарифмируем по основанию $$a$$:

1. $$\log_2\left(16b^7\sqrt[5]{c}\right)=\log_2 2^4+\log_2 b^7+\log_2 c^{\frac15}$$
   $$=4\log_2 2+7\log_2 b+\frac15\log_2 c$$
   $$=4+7\log_2 b+\frac15\log_2 c$$
2. $$\lg\frac{c^4}{\sqrt[3]{100b^n}}=\lg c^4-\lg 100^{\frac13}-\lg b^n$$
   $$=4\lg c-\frac23-n\lg b$$
3. $$\log_3\frac{27\sqrt{b}}{c^4}=\log_3 3^3+\log_3 b^{\frac12}-\log_3 c^4$$
   $$=3+\frac12\log_3 b-4\log_3 c$$
4. $$\log_{0,7}\frac{0,49b^3}{c^5\sqrt{c}}=\log_{0,7}0,7^2+\log_{0,7}b^3-\log_{0,7}c^{5+\frac12}$$
   $$=2+3\log_{0,7}b-5,5\log_{0,7}c$$

3) Найдём $$x$$:

1. $$\log_3 x=2\log_3 7+\frac23\log_3 27-\frac32\log_3 16$$
   $$=\log_3\left(7^2\cdot 27^{\frac23}\!:\!16^{\frac32}\right)$$
   $$x=\frac{49\cdot 9}{64}=\frac{441}{64}$$
2. $$\log_2 x=2\log_2 5-\frac13\log_2 8+\log_2 0,2$$
   $$=\log_2\left(5^2\cdot 0,2\!:\!8^{\frac13}\right)$$
   $$x=\frac{25\cdot 0,2}{2}=2,5$$
3. $$\log_5 x=\log_5 1,5+\frac13\log_5 8$$
   $$=\log_5\left(1,5\cdot 8^{\frac13}\right)$$
   $$x=3$$
4. $$\lg x=1+2\lg 3-\frac23\lg 125$$
   $$=\lg\left(\frac{10\cdot 3^2}{125^{\frac23}}\right)$$
   $$x=\frac{10\cdot 9}{25}=3,6$$

Ответ: 1) $$\log_a 1=0$$, $$\log_a a=1$$, $$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$$, $$\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$$, $$\log_a x^p=p\log_a x$$; 2) а) $$4+7\log_2 b+\frac15\log_2 c$$, б) $$4\lg c-\frac23-n\lg b$$, в) $$3+\frac12\log_3 b-4\log_3 c$$, г) $$2+3\log_{0,7}b-5,5\log_{0,7}c$$; 3) а) $$\frac{441}{64}$$, б) $$2,5$$, в) $$3$$, г) $$3,6$$.