Упр.7 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- В чем состоит механический смысл производной?
- Тело движется по прямой согласно закону $$x(t)$$. Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени $$t$$.
- Найдите скорость и ускорение точки в момент $$t_0$$, если:
а) $$x(t)=t^3-2t^2+5$$, $$t_0=4$$;
б) $$x(t)=3\cos(2t)$$, $$t_0=?/3$$;
в) $$x(t)=5t-t^2$$, $$t_0=2$$;
г) $$x(t)=2t^2+t-4$$, $$t_0=4$$.
Механический смысл производной состоит в том, что производная координаты по времени есть скорость, а производная скорости по времени есть ускорение.
Ход решения
Если тело движется по прямой по закону $$x(t),$$ то
$$v(t)=x'(t), \qquad a(t)=x»(t).$$
$$x(t)=t^3-2t^2+5,\quad t_0=4.$$
Найдём скорость:
$$v(t)=x'(t)=3t^2-4t,$$
$$v(4)=3\cdot 4^2-4\cdot 4=48-16=32.$$
Найдём ускорение:
$$a(t)=x»(t)=6t-4,$$
$$a(4)=6\cdot 4-4=24-4=20.$$
$$x(t)=3\cos 2t,\quad t_0=\frac{\pi}{3}.$$
$$v(t)=x'(t)=-6\sin 2t,$$
$$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-6\sin\frac{2\pi}{3}=-6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-3\sqrt3.$$
$$a(t)=x»(t)=-12\cos 2t,$$
$$a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-12\cos\frac{2\pi}{3}=-12\cdot\left(-\frac12\right)=6.$$
$$x(t)=5t-t^2,\quad t_0=2.$$
$$v(t)=x'(t)=5-2t,$$
$$v(2)=5-4=1.$$
$$a(t)=x»(t)=-2,$$
$$a(2)=-2.$$
$$x(t)=2t^2+t-4,\quad t_0=4.$$
$$v(t)=x'(t)=4t+1,$$
$$v(4)=4\cdot 4+1=17.$$
$$a(t)=x»(t)=4,$$
$$a(4)=4.$$
Ответ
1) Производная координаты по времени — это скорость, а производная скорости по времени — ускорение.
2) $$v(t)=x'(t), \qquad a(t)=x»(t).$$
3) а) $$v(4)=32,\ a(4)=20$$; б) $$v\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-3\sqrt3,\ a\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=6$$; в) $$v(2)=1,\ a(2)=-2$$; г) $$v(4)=17,\ a(4)=4$$.
