Упр.7 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы синуса, косинуса, тангенса суммы (разности).
- Найдите значение выражения:
а) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)$$, если $$\sin\alpha=\frac{2}{3}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$;
б) $$\cos\frac{\pi}{12}$$ и $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$$;
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)$$, если $$\cos\alpha=-\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$. - Докажите тождество:
а) $$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\sin\alpha$$;
б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=2\operatorname{tg}(2x)$$;
в) $$\frac{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}=\sqrt{3}$$;
г) $$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{tg}\beta$$.
1) Формулы сложения:
$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$
2) Найдём значения выражений.
а) $$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right),\quad \sin\alpha=\frac{2}{3},\quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Так как $$\alpha$$ — острый угол, то
$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt5}{3}.$$
Тогда
$$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha$$
$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt5}{3}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac23=\frac{\sqrt5}{6}+\frac{2\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt5+2\sqrt3}{6}.$$
б) $$\cos\frac{\pi}{12}$$ и $$\tg\frac{\pi}{12}.$$
$$\cos\frac{\pi}{12}=\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)$$
$$=\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$$
$$=\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.$$
$$\tg\frac{\pi}{12}=\tg\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{3}-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg\frac{\pi}{3}\cdot\tg\frac{\pi}{4}}$$
$$=\frac{\sqrt3-1}{1+\sqrt3}=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3.$$
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right),\quad \cos\alpha=-\frac13,\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Так как $$\alpha$$ — тупой угол, то $$\sin\alpha>0$$ и
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac19}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$
Тогда
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos\alpha+\sin\frac{\pi}{3}\sin\alpha$$
$$=\frac12\cdot\left(-\frac13\right)+\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}=-\frac16+\frac{\sqrt6}{3}=\frac{2\sqrt6-1}{6}.$$
3) Докажем тождества.
а)
$$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$$
$$=\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}+\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}+\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}-\cos\alpha\sin\frac{\pi}{6}$$
$$=2\sin\alpha\cos\frac{\pi}{6}=2\sin\alpha\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\,\sin\alpha.$$
б)
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\tg\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$$
$$=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg x}{1-\tg\frac{\pi}{4}\tg x}-\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg x}{1+\tg\frac{\pi}{4}\tg x}$$
$$=\frac{1+\tg x}{1-\tg x}-\frac{1-\tg x}{1+\tg x}$$
$$=\frac{(1+\tg x)^2-(1-\tg x)^2}{1-\tg^2 x}$$
$$=\frac{4\tg x}{1-\tg^2 x}=2\cdot\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=2\tg 2x.$$
в)
$$\frac{\tg\alpha+\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}{1-\tg\alpha\cdot\tg\left(\frac{\pi}{3}-\alpha\right)}$$
$$=\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}-\alpha\right)=\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3.$$
г)
$$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$$
$$=\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$$
$$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\tg\alpha+\tg\beta.$$
