Упр.7 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Докажите признаки делимости на: а) $$5$$; б) $$3$$; в) $$9$$.
Пусть число записано в десятичной системе:
$$b=a_0+10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k,$$
где $$a_0,a_1,\dots,a_k$$ — цифры числа.
а) Признак делимости на $$5$$
Так как $$10,10^2,\dots,10^k$$ делятся на $$5$$, то
$$10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k$$ делится на $$5$$.
Значит, число $$b$$ делится на $$5$$ тогда и только тогда, когда на $$5$$ делится его последняя цифра $$a_0$$.
Следовательно, число делится на $$5$$, если его последняя цифра равна $$0$$ или $$5$$.
б) Признак делимости на $$3$$
Так как $$10\equiv 1 \pmod 3$$, то и $$10^n\equiv 1 \pmod 3$$ для любого $$n$$. Поэтому
$$b=a_0+10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k \equiv a_0+a_1+a_2+\dots+a_k \pmod 3.$$
Значит, число $$b$$ делится на $$3$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$3$$.
в) Признак делимости на $$9$$
Аналогично, так как $$10\equiv 1 \pmod 9$$, то $$10^n\equiv 1 \pmod 9$$ для любого $$n$$. Тогда
$$b=a_0+10a_1+10^2a_2+\dots+10^ka_k \equiv a_0+a_1+a_2+\dots+a_k \pmod 9.$$
Следовательно, число $$b$$ делится на $$9$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$9$$.
Ответ
$$b$$ делится на $$5$$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на $$5$$; $$b$$ делится на $$3$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$3$$; $$b$$ делится на $$9$$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $$9$$.
