Упр.69 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите функции $$f_2(x)=f(f(x))$$, $$f_3(x)=f(f(f(x)))$$ и т. д., $$f_n(x)=f(f(f\ldots(f(x))\ldots))$$ и область определения $$f_n(x)$$, если:
а) $$f(x)=\frac{1}{x}$$;
б) $$f(x)=\frac{1}{1-x}$$.
а) Пусть $$f(x)=3-x.$$ Тогда
$$f_2(x)=f(f(x))=3-(3-x)=x,$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=f(x)=3-x.$$
Значит, значения функций повторяются с периодом 2:
$$f_n(x)= \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ чётное},\\ 3-x, & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases}$$
Область определения: $$D(f_n)=(-\infty;+\infty).$$
б) Пусть $$f(x)=\dfrac{1}{x}.$$ Тогда
$$f_2(x)=f(f(x))= \frac{1}{1/x}=x,$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=f(x)=\frac{1}{x}.$$
Следовательно,
$$f_n(x)= \begin{cases} x, & \text{если } n \text{ чётное},\\ \dfrac{1}{x}, & \text{если } n \text{ нечётное}. \end{cases}$$
При этом для всех $$n$$ должно быть $$x\ne 0.$$ Поэтому
$$D(f_n)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) Пусть $$f(x)=\dfrac{1}{1-x}.$$ Найдём несколько первых композиций:
$$f_2(x)=f(f(x))=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}} =\frac{1-x}{-x} =\frac{x-1}{x},$$
$$f_3(x)=f(f_2(x))=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}} =\frac{1}{\frac{1}{x}} =x.$$
Значит, композиции повторяются с периодом 3:
$$f_n(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{1-x}, & \text{если } n=3k+1,\\[6pt] \dfrac{x-1}{x}, & \text{если } n=3k+2,\\[6pt] x, & \text{если } n=3k, \end{cases} \qquad k\in\mathbb{N}\cup\{0\}.$$
Для области определения нужно исключить значения, при которых в процессе подстановок возникает деление на нуль. Поэтому при $$n\ge 2$$ имеем $$x\ne 1$$ и $$x\ne 0.$$ Для первого преобразования достаточно $$x\ne 1.$$
Ответ:
а) $$f_n(x)=x$$ при чётном $$n$$, $$f_n(x)=3-x$$ при нечётном $$n$$; $$D(f_n)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$f_n(x)=x$$ при чётном $$n$$, $$f_n(x)=\dfrac{1}{x}$$ при нечётном $$n$$; $$D(f_n)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
в) $$f_n(x)=\dfrac{1}{1-x}$$ при $$n=3k+1$$, $$f_n(x)=\dfrac{x-1}{x}$$ при $$n=3k+2$$, $$f_n(x)=x$$ при $$n=3k$$; при $$n\ge 2$$ $$x\ne 1$$ и $$x\ne 0$$, при $$n=1$$ $$x\ne 1.$$
